Integralkriteriet 4

[Razzy]

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{{{\tan }^{ - 1}}n} \over {{n^2} + 1}}} $$[/tex]

definerer: [tex]$$f\left( x \right) = {{{{\tan }^{ - 1}}x} \over {{x^2} + 1}}$$[/tex]

[tex]$$\int_1^\infty {{{{{\tan }^{ - 1}}x} \over {{x^2} + 1}}dx} $$[/tex]



Kan jeg kaste ut et vilt spørsmål? Hvis jeg midt oppi integraltesten har lyst til å bruke l'hopital (nå husker jeg ikke vilkårene for å kunne bruke den) men hvis det er oppfylt, er det kanskje er greit triks å ha i armet?

[Nebuchadnezzar]

Hvorfor skal du bruke L`hopital? Denne brukes bare og bare på grenser som enten er på formen [tex]\frac{0}{0}[/tex] eller [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex]

Du har sikkert allerede sett det men

[tex]\int \frac{\arctan x}{x^2 + 1} \, \mathrm{d}t \, = \, \int \left( \arctan x\right)^\prime \cdot \arctan x \, \mathrm{d}t \, = \, \frac{1}{2}\arctan(x)^2 + \mathcal{C}[/tex]

Herfra er det bare å dytte inn grensene. Ved å studere litt på grafen til [tex]\arctan(x)[/tex] klarer du sikkert finne disse.

Hvor det ble benyttet at

[tex]\int g^\prime(x) \cdot g(x)\,\mathrm{d}x \,=\, \frac{1}{2}g(x)^2 + \mathcal{C}[/tex]

[Vektormannen]

Vel, sånt kan du jo tenke på når du har gjort integralet da

Har du noen ideer her? (Hint: Telleren har noe med nevneren å gjøre.)

edit: for sein ja

[Razzy]

Vel, sånt kan du jo tenke på når du har gjort integralet da

Har du noen ideer her? (Hint: Telleren har noe med nevneren å gjøre.)

edit: for sein ja

Så har jeg kommet hit:

[tex]$$ = {1 \over 2}{\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {{{\arctan }^2}(t) - {{\arctan }^2}(1)} \right)$$[/tex]

der; [tex]$${1 \over 2}{\arctan ^2}\left( 1 \right) \approx 0.31$$[/tex]

Mens: [tex]$${1 \over 2}{\lim }\limits_{t \to \infty } {\arctan ^2}\left( t \right)$$[/tex]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1% ... 29^%282%29

Konvergerer eller hva skjer?

[Nebuchadnezzar]

[tex]\arctan(x)[/tex] er inversen av [tex]\tan(x)[/tex]

En av egenskapene til inverse funksjoner er at om

[tex]f(a) = b[/tex] så er [tex]f^{-1}(b) = a[/tex]

[tex]\tan(x)[/tex] går mot [tex]\infty[/tex] når [tex]x[/tex] går mot [tex]\pi/2[/tex], så [tex]\arctan(x)[/tex] går mot [tex]\pi/2[/tex] når [tex]x[/tex] går mot [tex]\infty[/tex]. Eller sagt på en annen måte

Siden [tex]f(\pi/2) = \infty[/tex] så er [tex]f^{-1}(\infty) = \pi/2[/tex]

Litt missbruk av notasjon, men det får gå.

[Razzy]

[tex]\arctan(x)[/tex] er inversen av [tex]\tan(x)[/tex]

En av egenskapene til inverse funksjoner er at om

[tex]f(a) = b[/tex] så er [tex]f^{-1}(b) = a[/tex]

[tex]\tan(x)[/tex] går mot [tex]\infty[/tex] når [tex]x[/tex] går mot [tex]\pi/2[/tex], så [tex]\arctan(x)[/tex] går mot [tex]\pi/2[/tex] når [tex]x[/tex] går mot [tex]\infty[/tex]. Eller sagt på en annen måte

Siden [tex]f(\pi/2) = \infty[/tex] så er [tex]f^{-1}(\infty) = \pi/2[/tex]

Litt missbruk av notasjon, men det får gå.

Kjempeflott post Nebu - thanks!!

Da falt oppgaven på plass