logarithmic differentiation

[millionaire]

Use logarithmic differentiation to find f'(x) / f(x) when:

f(x) = (x+1/x-1)^(1/3)

fasiten sier:

= -2 / 3(x^2-1)

Hvilken formel skal jeg bruke her?

Fint om noen viser utregning steg for steg.

På forhånd takk!

[Gustav]

Bruk at [tex]\log(f(x))^, = \frac{f^,(x)}{f(x)}[/tex] (kjerneregel for derivasjon)

[millionaire]

Men denne typen forstår jeg ikke i det hele tatt... Hvordan vet man når man skal legge inn ln?

Funksjonen ser slik ut:

f(x)= x^2x

Fasiten sier:

f'(x)/f(x)= 2lnx+2

Hvordan tenker man og regner her? Hjelp

[Gustav]

Poenget med å bruke såkalt logaritmisk derivasjon i dette tilfellet er at du i utgangspunktet ikke vet hvordan du direkte deriverer funksjoner der x opptrer i eksponenten. Tar du logaritmen av uttrykket vil derimot x i eksponenten kunne flyttes foran som en faktor. Deretter har du lov til å bruke vanlig produktregel for derivasjon.

Jeg kan føre utregningen av det siste uttrykket som et eksempel:

[tex]f(x)=x^{2x}[/tex]

Tar logaritmen på begge sider:

[tex]\ln(f(x))=\ln(x^{2x})=2x\ln(x)[/tex]

Deriverer begge sider:

[tex]\ln(f(x))^,=(2x\ln(x))^,[/tex]

Bruker kjerneregelen på uttrykket til venstre og produktregel for derivasjon på høyre side:

[tex]\frac{f^,(x)}{f(x)}=2\ln(x)+2x\frac{1}{x}[/tex]

[millionaire]

Takk tror jeg forstod den

Jeg har en annen jeg jobber med. Håper du kan hjelpe meg med den...

f(x) = ( [symbol:rot] x-2)(x^2+1)(x^4+6)

Prøver å tenke som du skrev:

ln(f(x))=ln [symbol:rot] x-2) + ln(x^2+1) + ln(x^4+6)

Blir forvirra av kvadratroten...

Fasiten sier det skal bli slik:

1/(2x-4) + 2x/(x^2+1) + 4x^3/(x^4+6)


Takker...

[Nebuchadnezzar]

Siden [tex]\sqrt{a} = a^{1/2}[/tex] per definisjon. Så er

[tex]\log\left( \sqrt{a} \right) \, = \, \frac{1}{2}\log(a)[/tex]