Konvergenstest

[Razzy]

Hei

Har rekken: [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over {5 + \ln n}}} $$[/tex]

Mener jeg må bruke sammenligningskriteriet eller integraltesten.

Da integreringen blir skummel velger jeg sammenligningstesten:

Ønsker å bevise divergens da jeg brøken kommer til å ligne på 1/n når n går mot uendelig.

Sml-test:

[tex]$${b_n} \cdot d \le {a_n}$$[/tex]

[tex]$${1 \over {5 + \ln n}} \ge {1 \over {5 + n}} \ge $$[/tex]

Har veldig lyst til å skrive at det er større enn 1/n, men det stemmer ikke!

(øker jo nevneren for å ligne mer på 1/n)

[Nebuchadnezzar]

Det er jo ikke værre enn å vise at

[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+a}[/tex] divergerer, hvor [tex]a \in \mathbb{R}[/tex]

=)

TL;DR Du trenger ikke sammenlikne med [tex]1/n[/tex]

[Razzy]

Det er jo ikke værre enn å vise at

[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+a}[/tex] divergerer, hvor [tex]a \in \mathbb{R}[/tex]

=)

TL;DR Du trenger ikke sammenlikne med [tex]1/n[/tex]

Hvordan kan jeg vise at den rekka divergerer da?

Både ved sml-testen og grense-sml-testen må jeg sammenligne. Ved forholdstesten går det for seint og integraltesten er vanskelig her.

Hvordan ville du vist det?

[Nebuchadnezzar]

Tja sammenlikningstesten med [tex]1/n[/tex] funker da fint her

La [tex]a_n[/tex] og [tex]b_n[/tex] være det [tex]n[/tex]`te ledd i to rekker. Dersom
[tex]a_n[/tex] divergerer og

[tex]\lim_{n \to \infty}\, \frac{\,a_n\,}{b_n} \,=\, c[/tex] hvor [tex]c\in(0,\infty)[/tex]

så divergerer og [tex]b_n[/tex]. For å ta det med teskje :p

La [tex]a_n \,=\, 1/n[/tex] og [tex]b_n \,=\, 1/(n+a)[/tex]

Alternativt funker og integraltesten:

La [tex]f(n)[/tex] være en monotont synkende og kontinuerlig funksjon som er definert på intervalet [tex][N,\infty)[/tex]. Da konvergerer

[tex]\sum_{n=N}^\infty f(n)[/tex]

hvis og bare hvis integralet

[tex]\int_N^\infty f(x)\,\mathrm{d}x[/tex]

er endelig.Her har du

[tex]\int_1^\infty \frac{1}{x+a}\,\mathrm{d}x \,=\, \Bigl[ \log(x+a) \Bigr]_0^\infty \,=\, -\log\,a \, + \lim_{x \to \infty} \log(x + a)[/tex]

Som klart divergerer så lenge [tex]a[/tex] er endelig (Og det var jo en av forutsetningene.)

Eneste som ikke fungerer for å bestemme om rekka konvergerer er vel forholdstesten (D'Alembert's kriterie),

[tex]L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|[/tex]

da [tex]L=1[/tex] og det finnes eksempler på rekker som konvergerer og rekker som divergerer når [tex]L=1[/tex]. Ta for eksempel forholdstesten på [tex]1/n^p[/tex], her blir [tex]L=1[/tex] uavhengig av [tex]p[/tex]. Men rekka divergerer som kjent når [tex]n<1[/tex] og konvergerer ellers.

[Razzy]

Ok. Så hvis jeg har rekken: [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over {5 + \ln n}}} $$[/tex]

Så ville du først sagt at rekken er [tex]$${1 \over {5 + \ln n}} > {1 \over {5 + n}}$$[/tex]

Og deretter løst [tex]$${1 \over {5 + n}}$$[/tex] med integraltesten eller evt sml-testen?


Eller kunne du løst [tex]$$\int {{1 \over {5 + \ln n}}dx} $$[/tex] direkte?

(helst ikke for NTNU).

[Nebuchadnezzar]

Så ville du først sagt at rekken er [tex]{1 \over {5 + \ln n}} > {1 \over {5 + n}}[/tex]

Og deretter løst [tex]$${1 \over {5 + n}}$$[/tex] med integraltesten eller evt sml-testen?

JA! (Og jeg ville ikke brutk ordet løst, men heller sammenliknet)

Eller kunne du løst [tex]\int {{1 \over {5 + \ln n}}dx} [/tex] direkte?

NEI!

^^