Kontinuitet

[Kork]

jeg har vist at [tex]$$ {\lim }\limits_{t \to \infty } h\left( t \right) = 0$$[/tex] og at [tex]$$\frac{1}{{h{{\left( t \right)}^2} - h\left( t \right)}} = t$$[/tex] men jeg forstår ikke hva eller hvorfor.

Noen som har noen tips?

[Vektormannen]

Det de mener er vel at du, når du har innført denne funksjonen h(t), kan bruke at [tex]\lim_{x \to 0} \ f_0(x) = \lim_{t \to \infty} \ f_0(h(t)) = \lim_{t \to \infty} \ \sin t[/tex]. Eksisterer den grensen?

Du kan også argumentere på en annen måte, uten å involverer denne funksjonen h(t). Hvis du kan argumentere for at man alltid, uansett en gitt [tex]x_0 > 0[/tex] kan finne [tex]x < x_0[/tex] slik at [tex]\frac{1}{x^2 - x} = k \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}[/tex], så er du egentlig i mål. For det betyr jo at uansett hvor nærme vi kommer 0, vil det alltid finnes en mindre x-verdi som plutselig gjør at sinus av den verdien blir 1. Med på dette?

[Nebuchadnezzar]

Yay Mat1001 innlevering på UIB!

[Kork]

Takk jeg forsto fremgangsmåten no, får tenke mer på den andre fremgangsmåten din seinere.

Stas med mat111 innlevering, selv om oppgavene er mye vanskeligere enn jeg er vant med fra boken.

[Gustav]

Det burde vel være nok å si at [tex]\lim_{x\to 0}\sin(\frac{1}{x^2-x})[/tex] ikke er definert.

[Nebuchadnezzar]

En frekkis på denne oppgaven er jo som følger
Funksjonen din er vel

[tex]f_n(x) = x^n \sin(1/(x^2-x))[/tex]

så lenge [tex]x\neq 0[/tex] om ikke husken min er på bærtur, videre så har vi at

[tex]\sin x \sim x[/tex] når [tex]x\ll1[/tex], og dette skjer selvsagt
når [tex]x\to 0[/tex], dette kan du for eksempel teste ut ved å ta
[tex]\sin(0.0001)[/tex] på kalkulatoren din eller noe liknende.

Dermed kan vi skrive at

[tex]f_n(x) \approx \frac{x^n}{x^2 - x} [/tex] for små [tex]x[/tex]

Herfra ser vi at [tex]f_n[/tex] er kontinuerlig i origo for alle [tex]n>2 [/tex], mens spesialtilfellene [tex]n=0[/tex] og [tex]n=1[/tex] må undersøkes nærmere.

For å løse din oppgave ser vi at

[tex]f_0(x) \sim \frac{1}{x(x-1)} \,=\, \frac{1}{x-1} \,-\, \frac{1}{x}[/tex]

Som ikke er kontinuerlig i origo. Angående tilnærmingen så kan en kort si at alle funksjoner som oppfører seg relativt pent på et gitt intervall kan tilnærmes vilkårlig nøyaktig ved hjelp av polynomer.

For å få bedre nøyaktighet kan vi enten lage et polynom av høyere grad, eller snevre inn området vi ser på. Dette er også bedre kjent som rekkeutvikling, og her benyttes taylorrekka til sinus for å få tilnærmingen.

http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonomet ... efinitions

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

om du er keen på å lære mer.

[Vektormannen]

Det burde vel være nok å si at [tex]\lim_{x\to 0}\sin(\frac{1}{x^2-x})[/tex] ikke er definert.

Det er vel dette oppgaven strengt tatt går ut på å vise?

[Gustav]

Det burde vel være nok å si at [tex]\lim_{x\to 0}\sin(\frac{1}{x^2-x})[/tex] ikke er definert.

Det er vel dette oppgaven strengt tatt går ut på å vise?

Ja, du har selvsagt rett. Jeg tenkte bare at det er åpenbart at funksjonen oscillerer mellom -1 og 1 i grensen, og at grensen dermed åpenbart er udefinert.

[Nebuchadnezzar]

For å gjøre det helt klinkende klart at grensen divergerer, kan vel en og gjøre følgende omskrivning

[tex]\lim_{x\to 0} \sin\left( \frac{1}{x^2-x}\right) = \lim_{x\to 0} \sin\left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}\right) = \lim_{x\to 0} \left[ \sin\left( \frac{1}{x-1}\right) \cos\left( \frac{1}{x}\right) - \sin\left( \frac{1}{x}\right)\cos\left( \frac{1}{x-1}\right) \right]\\ = \sin(1)\lim_{x\to0}\cos\left( \frac{1}{x}\right)+\cos(1)\lim_{x\to0}\sin\left( \frac{1}{x}\right)[/tex]

Og det er vel kanskje noe lettere å se at sistnevnte divergerer. Eksempelvis med å sette [tex]x=1/t[/tex], som vektormannen sa. Dog er jeg enig med Plutarco i at det er "åpenbart" at funksjonen divergerer.

[Vektormannen]

Det er åpenbart, men jeg tenkte at det krevdes noe mer argumentasjon siden de begynner å nevne denne h(t)-funksjonen osv. og gjør et stort nummer ut av det.

(Du kan ikke dele opp i en sum av grenser som du gjorde der. En grense av en sum er kun lik summen av grensene av hvert ledd hvis grensene eksisterer.)

[Nebuchadnezzar]

Glemte helt [tex]\lim_{x \to \infty} (\cos^2x + \sin^2x)[/tex] eksempelet jeg.. Antar h(t) innføres like så mye for å bestemme grensen som å teste ut matematikkunnskapene til førsteklassingene.

[Kork]

Jeg er kommet litt videre nå, men sliter igjen litt med en grenseverdi:




Forsøkte med h(t) men er usikker på om det gjør det noe lettere,
kom gjerne med noen vage hint om hva jeg kan gjøre videre.
Nå må jeg på jobb

[Vektormannen]

Først og fremst: Hva er det du skal vise?

Her trenger du såvidt jeg ser ikke stresse med å innføre h(t). Hvis vi først antar at n > 1: Leddet [tex]nx^{n-1} \sin\left(\frac{1}{x^2 - x}\right)[/tex] går mot 0 på grunn av skviseteoremet, og [tex]x^n \frac{1-2x}{(x^2 -x)^2} = x^n \frac{1-2x}{x^2(x-1)} = x^{n-2} \cdot \frac{1-2x}{(x-1)^2} \ \to \ 0[/tex], slik at også det andre leddet går mot 0, igjen på grunn av skviseteoremet.

For n = 1 blir det litt mer jobb tror jeg, men den kan du også vise uten h(t).

[Kork]

Jeg kom i mål uten å skvise også, takk for hjelpen alle sammen Det kommer nok flere spørsmål rimelig kjapt