Åpen ball på B(x,1)

[Nebuchadnezzar]

Sliter med en øving i lineære metoder, har følgende oppgave

What is an oppen ball [tex]B_1(x_0)[/tex]

a) in [tex]\mathbb{R}[/tex] with metric [tex]d(x,y)=|x-y|[/tex]?

b) in [tex]\mathbb{C}[/tex] with the metric induced by the norm [tex]\||x\|| = \sqrt{\text{Re}^2+\text{Im}^2}[/tex]

c) in [tex]BC([a,b],\mathbb{R})[/tex] with the metric induced by the supremum norm?

Sliter egentlig med alle sammen, skal skrive hva jeg har tenkt snarest mulig. må bare spise frokost!

[Go_Rilla]

bare et lite spørsmål

har man lov til å spørre om hjelp til øvinger på dette forumet

det ville i såfall ha hjulpet

[Emilga]

Her er det bare å plugge inn i definisjonen av en åpen ball. Hvordan vil du så beskrive ballen? (Tror det er det han spør etter.)

[Nebuchadnezzar]

Glemte helt å sjekke tråden jeg. Svarene mine så langt er

a) [tex]B(x_0,1) = \{ x \in \mathbb{R} \:\mid\: |x-x_0|<1 \}[/tex]

b) [tex]B(x_0,1) = \{ x \in \mathbb{C} \:\mid\: \||x_0\||<1 \}[/tex]

c) [tex]B(x_0(t),1) = \bigl\{ f \in BC \:\mid\: \sup_{t\in [a,b]}\left| f(t) - x_0(t)\right| <1 \bigr\}[/tex]

Stemmer dette noenlunde overens med hva du/dere har gjort? =)

[Emilga]

a) og c) er like.

[Gustav]

Jeg tror egentlig det her er meningen å skissere grafisk de områdene (punktene i rommene) som utgjør mengdene i de respektive tilfellene. Intensjonen med oppgaven er antagelig å skape geometrisk intuisjon om begrepet åpen omegn i ulike normerte rom.

På c) vil f.eks. ballen bestå av alle kontinuerlige funksjoner på [a,b] som ligger innenfor en stripe med "radius" 1 omkring funksjonen [tex]x_0[/tex]. Tegn en skisse av disse.

(Kan kanskje være nyttig å tenke over hva som skjer dersom man endrer oppgave c) til et åpent intervall (a,b). Er det da mulig å definere en norm på samme måte?)

[Nebuchadnezzar]

Spurte studass om dette, og det bare meningen å sette opp definisjonen for de ulike "ballene". MEN for min egen del, og forståelse ønsker jeg å danne meg en geometrisk forståelse

a)


c)


Takker Emilon for å bekrefte =)

Derimot på b) er jeg fortsatt ganske blank. Ser
at en måler avstanden fra origo til det komplekse tallet.

Så det blir vel en slags sirkel i det komplekse planet?

[tex]e^{(i \pi x)} < 1[/tex] ?

[Vektormannen]

I a) har du tegnet en figur med et plan, men det er jo [tex]\mathbb{R}[/tex] og ikke [tex]\mathbb{R}^2[/tex] vi ser på?

I b) så blir det vel en åpen disk (eller hva det kalles) ja. Den gitte normen er den vanlige normen for [tex]\mathbb{C}[/tex]. Hvis du tenker på de komplekse tallene som punkter i det komplekse planet, så gir denne normen avstanden mellom punktene, akkurat som i [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. [tex]\||x-x_0\|| < 1[/tex] oppfylles da av alle punkt som er innenfor sirkelen med sentrum i [tex]x_0[/tex] og radius 1. Jeg har hvertfall tenkt på den måten?

[Gustav]

I a) har du tegnet en figur med et plan, men det er jo [tex]\mathbb{R}[/tex] og ikke [tex]\mathbb{R}^2[/tex] vi ser på?

I b) så blir det vel en åpen disk (eller hva det kalles) ja. Den gitte normen er den vanlige normen for [tex]\mathbb{C}[/tex]. Hvis du tenker på de komplekse tallene som punkter i det komplekse planet, så gir denne normen avstanden mellom punktene, akkurat som i [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. [tex]\||x-x_0\|| < 1[/tex] oppfylles da av alle punkt som er innenfor sirkelen med sentrum i [tex]x_0[/tex] og radius 1. Jeg har hvertfall tenkt på den måten?

Ja, helt rett