Kontinuitet og deriverbarhet

[SveinT]

Først gjorde jeg en oppgave som så slik ut:

f(x) er gitt ved sinx/x for x <> 0 og 1 for x=0.
Jeg skulle visa at den var kontinuerlig og deriverbar overalt. Ble som følgende:

lim[sub]x->0[/sub] sinx/x = 1, f er altså kontinuerlig i 0.
sinx og x er kontinuerlige overalt, derfor er x kontinuerlig for alle x.
Den deriverte av uttrykket blir (x*cosx - sinx)/x[sup]2[/sup]

For x=0
lim[sub]x->0[/sub] (f(x) - f(0))/x = 0 (etter en del derivasjon, brukte L'Hôpital). Dvs. at f'(0) eksisterer og er 0.

f er kontinuerlig og deriverbar.

Senere i dag gjorde jeg følgende oppgave:

f(x) er gitt ved x*lnx for x>0 og f(0) = 0
Vis at f er kontinuerlig i x=0.

lim[sub]x->0[/sub] x*lnx = 0 (etter en del derivasjon, brukte L'Hôpital).

f er kontinuerlig.

Det jeg ikke skjønner er bruken av "formelen" (f(x) - f(0))/x i den første oppgaven, hva kommer den av?

[Solar Plexsus]

En definisjonen av den deriverte i punktet (a,f(a)) er

f '(a) = lim[sub]x->a[/sub] (f(x) - f(a)) / (x - a).

Setter du a=0, blir resultatet

f '(0) = lim[sub]x->0[/sub] (f(x) - f(0)) / x.

For øvrig kan ikke funksjonen f(x)=x lnx være kontinuerlig i x=0. Ifølge defininsjonen av kontinuitet må det eksistere en δ>0 slik at f(x) er definert for -δ < x < δ. Dette kravet er ikke tilfredsstilt i dette tilfellet ettersom f(x) ikke er definert for x<0 (Et analogt eksempel er f(x)=[rot][/rot]x som ikke er kontinuerlig i x=0).

[SveinT]

Åh, takk.
Såklart, ln0 er jo ikke definert.

Men la oss si jeg har en funksjon, som jeg skal vise at er kontinuerlig og deriverbar. Er det da nok å derivere den, og dermed si at den er kontinuerlig?