Brøk og algebra

[asdf]

For å finne en grenseverdi har de manipulert uttrykket sådan: [tex]\frac{sqrt(x^2+x)-x}{x}= -sqrt(1+\frac{1}{x})-1[/tex] ved å dele med x i nevner og teller, men jeg er ikke helt sikker på hvordan de har gått frem.

Edit: Fikset kvadratrot

[Nebuchadnezzar]

Stemmer vel ikke helt, det du har skrevet da. Men sånn sjapt, vi har at

[tex]\frac{\sqrt{x^2-x\,}}{x} \,=\, \sqrt{\frac{\,x^2-x\,}{x^2}} [/tex] ,

klarer du resten da? =)

[asdf]

Jeg skjønner fortsatt ikke hvor minusen foran kvadratroten i det høyre uttrykket kommer fra (var det den du siktet til da du skrev at det ikke stemte helt?).

[Nebuchadnezzar]

Yes!

Og at du hadde noe kluss med rottegnet ditt, men det fikset du. Skal ikke være noe minus der nei.

[asdf]

Hm, isåfall er det en feil i Kalkulus av Tom Lindstrøm (for UiO) på side 237. Oppgaven er altså å finne grenseverdien av [tex]\frac{1}{sqrt(x^2+x)+x}[/tex] når x går til minus uendelig.

[Nebuchadnezzar]

Du glemte å nevne at dette var en grenseverdi, som gikk mot noe negativt!

[tex](-5)^2 = 25[/tex] og [tex]5^2 = 25[/tex]

La oss for eksempel ta grenseverdien

[tex]\lim_{x \to -5} x = -5[/tex],

hva skjer om vi tar kvadratroten, uten å tenk på fortegnet?

[tex]\lim_{x \to -5} x = \lim_{x \to -5} \sqrt{x^2} = \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = \sqrt{5^2} = 5[/tex]

Som blir feil, derimot så er det riktig å skrive at

[tex]\lim_{x \to -5} x = \lim_{x \to -5} -\sqrt{x^2} = -\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{5^2}=-5[/tex]

siden x<0, i oppgaven din får vi altså

[tex]\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{x^2+x}+x} = &\frac{1}{\sqrt{x^2+x}+x} \cdot \frac{\sqrt{x^2+x}-x}{\sqrt{x^2+x}-x} \\ & = \frac{\sqrt{x^2+x}-x}{(x^2+x)-x^2} \\ & = \frac{\sqrt{x^2+x}}{\pm \sqrt{x^2}}-1 \\ & = \pm \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 \end{align*}[/tex]

[tex]\lim_{x \to -\infty} \: \frac{1}{\sqrt{x^2+x}+x} \: = \: \lim_{x \to -\infty}\: -\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 = -\sqrt{1 + 0} - 1 = -2[/tex]

[asdf]

Tusen takk for oppklarende svar, Nebu. Hatten av.