Hjelp til bevisoppgave

[skf95]

Hvordan skal jeg forklare (trenger ikke bevise) at dersom a er et partall, og b og c er oddetall, så har likningen a^n+b^n=c^n ingen løsning. n er et naturlig tall.

Har en følelse av at en diskriminant må være negativ eller noe?

[svinepels]

La a = 0, b = 1 og c = 1, og la n = 1.

Da er jo a^n + b^n = 0 + 1 = 1 = c^n

Så det finnes løsninger på ligningen. Sikker på at du ikke har skrevet av feil?

[Emilga]

Et bevis er bare det samme som en veldig god forklaring. Når du ser at oppgaven spesifikt nevner pariteten til a,b,c (dvs. om a,b,c er like eller odde), så vil en god detektiv mistenke at man må bruke dette i beviset!

Hvis du vet pariteten til [tex]a[/tex], hva vil da være pariteten til [tex]a^n[/tex]. (Dvs. hvis [tex]a[/tex] er et partall, er [tex]a^n[/tex] like eller odde?)

Hva vet du om pariteten til [tex]a+b[/tex] hvis du vet pariteten til [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex]? (Dvs. hvis én av tallene er like og én er odde, hva er da pariteten til summen av dem? Hva hvis begge er odde?)

Kan du bruke noe av dette til å forklare (bevise) hvorfor likningen du er oppgitt ikke har noen løsninger med de begrensningene som oppgaveteksten gir?

[Emilga]

Antar at a,b,c er naturlige tall. Dvs. 1,2,3,...

[skf95]

Du har et meget godt poeng der, Svinepels. Oppgaven er skrevet riktig.

Det du skrev Emomilol skjønte jeg desverre lite av. Har nettop begynt med bevisføring. En del nye begreper for meg; kan du skrive det på et noobt språk?

[Emilga]

Et naturlig tall [tex]n[/tex] kan enten være et partall (delelig med 2) eller et oddetall (ikke delelig med 2). Hvis tallet er et partall, sier vi at det har "like paritet". Hvis tallet er et oddetall, sier vi at det har "odde paritet". Hvis jeg da spør deg "Hva er pariteten til [tex]n[/tex]?", så spør jeg deg: "Er [tex]n[/tex] et partall eller et oddetall?"

[skf95]

Jeg kan skrive om a^n+b^n=c^n til a^n=c^n-b^n. a^2 er et partall, de to andre er oddetall. Med andre ord står det partall=oddetall-oddetall. Et oddetall minus et annet, feks 15-5, blir jo et partall (med mindre det andre oddetallet er større enn det første). Dermed mener jeg likningen skulle ha løsninger ...

[skf95]

Svaret kan forresten også være negativt. Glemte at -6, -4, -2 og så videre også er partall

[Emilga]

Det ser ut til at oppgaven er feil. Se f.eks. på 3^2+4^2=5^2.

[wingeer]

Mistenker a og b skal være partall og c, oddetall. I så fall er det jo greit:
Anta det finnes slike løsninger til [tex]a^n + b^n = c^n[/tex]
[tex](2s)^n + (2t)^n = 2^n(s^n+t^n) = (2u+1)^n = 2x + 1[/tex] for en passende x. Mao. får man en rest på høyresiden som ikke eksisterer på venstresiden og derfor begge sidene ha forskjellig paritet. Dette er en motstridelse.

[svinepels]

Var det jeg tenkte og, men trådstarter sier jo h*n har dobbeltsjekket, så det står vel feil i oppgaveteksten.

@Emomilol: Velkommen etter. Har du ikke sett post nr. 2 i tråden?

[Emilga]

@Emomilol: Velkommen etter. Har du ikke sett post nr. 2 i tråden?

I post nr. 4 i tråden antar jeg a,b,c naturlige tall.