Følger og rekker

[malef]

Du har et ån på 800 000 kr som skal nedbetales med 85 000 kr årlig. Første innbetaling er om ett år, og den årlige renten er 8.5 %.

Hvor lenge har du lånet?

Ser ikke helt hvordan denne oppgaven skal angripes. Problemet ser ut til å inneholde en aritmetisk rekke siden det hele tiden skal trekkes fra 85000. Men samtidig ser det ut til å være en geometrisk rekke siden beløpet vokser med kvotienten 1.085.

Hvordan går man frem for å løse dette problemet? (Jeg er klar over at oppgaven kan løses med en formel fra finansmatematikken (annuitetsprinsippet), men jeg vil gjerne forså hvordan boken mener at den skal løses ved hjelp av følger og rekker).

[Andreas345]

Hvis vi skriver ut de første leddene nå:

La 1.085 være x for øyeblikket

[tex]a_0=800 000 \\ a_1=800000\cdot x-85000 \\ a_2=(800000\cdot x-85000)x-85000=800000x^2-85000x-85000 \\ a_3=(800000x^2-85000x-85000)x-85000=800000x^3-85000x^2-85000x-85000[/tex]


Ser at:

[tex]a_n=800 000\cdot 1.085^n- 85000\sum_{i=0}^{n-1} 1.085^i[/tex]

[tex]- 85000\sum_{i=0}^{n-1} 1.085^i[/tex] kan vi finne summen for, ved å endre grensene slik at det blir en standard geometrisk rekke.

[tex]- 85000\sum_{i=0}^{n-1} 1.085^i \Leftrightarrow - 85000\sum_{i=1}^{n} 1.085^{i-1}[/tex]

Merk: Jeg så [tex]- 85000\sum_{i=0}^{n-1} 1.085^i[/tex] lettere enn [tex]-85000\sum_{i=1}^{n} 1.085^{i-1}[/tex], derfor måtte jeg skrive det om etterpå, for å bruke formelen for summen av en geometrisk rekke. Se http://no.wikipedia.org/wiki/Geometrisk_rekke

[tex]-85000\frac{1.085^n-1}{1.085-1}=1000000-1000000\cdot 1.085^n[/tex]

Dvs, dette kan da skrives som:

[tex]a_n=1000000-200000\cdot 1.085^n[/tex], setter vi denne lik null og løser for n, får vi svaret.

Bare si i fra hvis det er noe du lurer på.

Edit: Fikset slurvefeil.

[malef]

Takk for svar! Dette var virkelig ikke helt enkelt, så jeg tror ikke jeg forsto alt.

Hvorfor trekker du fra 1 og ikke 85000 i [tex]a_3[/tex]?

Skjønner heller ikke hvordan [tex]a_n=1000000-150000\cdot 1.085^n[/tex] kan gi riktig svar. Her er det vel ingen info om[tex] a_0[/tex]? Ut fra din forklaring ville jeg satt [tex]a_n=800 000\cdot 1.085^n-85000 \cdot \frac{1.085^n-1}{1.085-1}[/tex], som gir [tex]n\approx 20[/tex] når utrykket settes lik null. Misforstår jeg noe?

Edit: Du har satt [tex]a_0[/tex]=850 000. Antar det er en slurvefeil siden opprinnelig lånebeløp er 800 000?

[Andreas345]

Ja, beklager var slurvefeil begge steder. Skal rette opp i det.

[malef]

Ok, da tror jeg at jeg skjønner. Tusen takk skal du ha!