Summen av en rekke med wxMaxima

[malef]

I ndlas løsningsforslag finner man en sum:



Jeg får bare frem dette:



Jeg har prøvd å legge til simpsum=true, men jeg får ikke ut noe tall samme hva jeg gjør. Noen som vet hva NDLA har gjort her?

[Nebuchadnezzar]

Må du bruke WXmaxima ? Geogebra, matlab og maple klarer det helt fint.

Eventuelt kan du se at

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \, \frac{1}{(n+1)^2}\,=\, \sum_{n=2}^{\infty} \, \frac{1}{n^2} \,=\, - a_1 \, + \, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \,=\, -1 \, + \, \frac{1}{6}\pi^2[/tex]

Siste rekke er og en svært kjent rekke.

http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias ... /zeta2.pdf

http://mathworld.wolfram.com/RiemannZet ... Zeta2.html

Kan være maxima ikke er kraftig nok, eller at syntaksen din er feil. For eksempel infinity eller infty i steden for inf osv eller kanskje 1/[(n+1)^2] Uten at jeg på noen so helst måte har brukt WXmaxima ^^

[Vektormannen]

Det forutsetter jo at man vet at [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}[/tex]. Noe som verken er trivielt eller i pensum på VGS

[Nebuchadnezzar]

Nei, det jeg mente var at kanskje WXmakima, klarer å regne ut den siste rekka =)

[malef]

Takk for svar og tips! Jeg må ikke bruke Maxima, men det har fungert velig greit til nå. Bruker du CAS-verktøyet i betaversjonen av GeoGebra, eller hvordan gjør du det? Maple kunne sikkert være greit å skaffe seg, men ikke to uker før eksamen ...

Jeg er temmelig sikker på at syntaksen min er riktig, det er det som er så irriterende. I løsningsforslaget til NDLA kan jeg ikke se at de gjør noe annet enn meg

Edit: Merkelige greier:

[dan]

Er oppgaven å finn en eksplititt formel ved hjelp av digitale verktøy? Stilig

Skal man gjøre det for hånd, kan det ofte være verdt å prøve å sette det som en differenslikning hvis man er ute etter en formel for en sum.

[malef]

Det kunne den vært, men den var rett og slett å finne verdien når n går mot uendelig. Men jeg ser at maxima også forbedrer formlene mine:



Her gir den meg også verdien når jeg ber om det. Jeg skjønner fremdeles ikke hvorfor det ikke funker på oppgaven i første post.

Differensligninger kjenner jeg ikke, så dem får jeg ta når den tid kommer

Er oppgaven å finn en eksplititt formel ved hjelp av digitale verktøy? Stilig

Skal man gjøre det for hånd, kan det ofte være verdt å prøve å sette det som en differenslikning hvis man er ute etter en formel for en sum.

[malef]

Jeg ser at det er en kommando i Geogebra som heter Følge, men programmet krasjer når jeg bruker den

[dan]

Kan komme med en kjapp forklaring, du får spørre hvis du ikke skjønner hva jeg snakker om


Når vi summerer de første n tallene, ser vi på rekken 1 + 2 + 3 + 4 + ... +n.. Dersom vi skulle ønske å summere de (n+1) første tallene, kunne vi ha lagt (n+1) til summen for de n første tallene.

Generelt kan vi altså finne det neste leddet i rekken ved å legge noe til det foregående leddet. Dette er opphavet til differens-likninger, eller rekkursive likninger som det også kalles.

La oss se på [tex]\sum _{i=1} ^ n [/tex], med ønsket om å finne ut av hvordan vi har kommet frem til formelen [tex] \frac {n(n+1)} {2}[/tex] i tankene.

la oss innføre et navn for hver av leddene i rekken følgen 0, 0+ 1, 0+ 1+2, 0+1+2+3, 0+1+2+3+4, ...

Vi kaller det første ledded for [tex]x_0[/tex], det andre for [tex]x_1[/tex], det tredje for [tex]x_2[/tex] og så videre.

Dette gjør at vi kan finne frem til [tex]x_4[/tex] ved å regne ut [tex]x_3 + 4 = (0 + 1+2+3) + 4 [/tex]. Videre kan vi regne ut [tex] x_5 = x_4 + 5 = ((0 + 1+2+3)+4)) + 5). [/tex]

Vi ser utfra dette at sammenhengen mellom det forrige og det neste leddet er gitt ved [tex] x_n= x_{n-1} + n \Leftrightarrow x_{n}- x_{n-1} = n [/tex] (1)

Denne siste likningen, som er en differenslikning, kan løses analytisk. Med å løse den, mener jeg å finne et utrrykk for det n-te leddet som en funksjon av n.

Jeg kan gå litt mer i dybden på løsningen av slike likninger hvis du vil, men oppgaven består av to deler. Vi skal finne en løsning for [tex] x_n - x_{n-1= 0 [/tex] og "gjette" oss til èn partikulær løsning av likningen.

Det er ganske enkelt å se at [tex]x_n - x_{n-1} = 0 \Leftrightarrow x_n = x_{n-1} = C [/tex]

Når vi skal gjette oss til èn løsning, velger vi å gjette på et uttrykk som har samme form som høyresiden i likningen, altså i vårt tilfelle n, eller for å være helt presise et polynom av første grad der hvor n er variabel.

Vi kaller den partikulære løsningen vi er ute etter for [tex] x_n^p [/tex], og vi lar denne være polynomet [tex] x_n^p = An + B [/tex].

Vi setter inn dette i venstresiden i likningen vår, og får

[tex] An + B - A(n-1) - B = n \Leftrightarrow A = n[/tex]

Dette gikk ikke helt som forventet, siden vi fikk en tilsynelatende løsning hvor en konstant skal være en variabel. Dette går ikke, men vi fatter nytt mot og prøver et triks som brukes i slike tilfeller: Vi øker graden på den gjettede løsningen med èn - altså ønsker vi å la [tex] x_n^p [/tex] være et andregradspolynom. Vi prøver med [tex] x_n^p = An^2 + Bn + C[/tex], og setter dette inn:

[tex] A(n)^2 + B(n) + C - A(n-1)^2 - B(n-1) - C = n[/tex]

[tex] 2*A*n -A +B = n [/tex].

Dette er en likning vi faktsk kan løse! - Siden koeffisienten forran n på venstresiden må matche koeffisienten forran n på høyreside:

Vi får dermet at [tex] A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}[/tex]

Da forteller teorien om løsning av slike likninger at løsningen av (1)
er gitt ved [tex] x_n = x_n^h + x_n^p[/tex], hvor [tex]x_n^h[/tex] er løsningen til den homogene likningen, altså likningen hvor vi satte høyresiden til å være null. Denne fant vi ut at måtte være lik C, og dette gir oss at den totale løsningen er:

[tex] x_n = C + A(n^2) + Bn + C = C + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2} + 0[/tex]

Når vi i tillegg kjenner til at [tex] x_0 = 0[/tex] ,ser vi at :

[tex] x_0 = C = 0 \Rightarrow C = 0[/tex]

Dermed ender vi opp med at formelen for summen av de n første tallene er gitt ved [tex] x_n = \frac{n^2 + n}{2} [/tex]!!


Dette gikk veldig fort, så det er nok en del feil her og der. Fint om noen gidder å si fra! Hvis det er noe du ikke skjønner, får du bare si fra!

[malef]

Tusen takk for en fantastisk inspirerende innføring! Jeg skjønner konseptet slik du beskriver det, men jeg tror rett og slett jeg må vente med å forfølge saken til jeg føler jeg har god kontroll på de mer grunnleggende delene av pensum, siden det begynner å nærme seg eksamen. Kommer nok tilbake til saken senere

[Nebuchadnezzar]

Frekkisen med litt håndvifting er følgendende. La oss for eksempel se på summen av

[tex]1 \, + \, 2 \, + \, 3 \, + \, 4 \, + \, 5 [/tex]

så skriver vi opp rekka baklengs under, da får vi
[tex]\begin{array}{cccccccccc}1 & + & 2 & + & 3 & + & 4 & + & 5 \\ 5 & + & 4 & + & 3 & + & 2 & + & 1 \\ 6 & + & 6 & + & 6 & + & 6 & + & 6 \end{array}[/tex]

også legger vi sammen hvert ledd nedover. [tex]1+5[/tex], [tex]2+4[/tex] osv.
Her ser vi at alle leddene blir [tex]6[/tex] altså får vi [tex]6 \cdot 5 = 30[/tex].
Men nå har vi telt opp rekka vår to ganger, deler dermed på 2 og får at

[tex]1 \, + \, 2 \, + \, 3 \, + \, 4 \, + \, 5 \, = \, 5 \cdot (5 + 1) / 2 \,=\, 30/2 \,=\, 15[/tex]

Med litt håndvifting, er det ikke værre enn å gjøre det samme med [tex]n[/tex] ledd.
Altså

[tex]\begin{array} 1 & + & 2 & + & \ldots & + & n-1 & + & n \\n & + & n-1 & + & \ldots & + & 2 & + & 1 \\ (n+1) & + & (n + 1) & + & \ldots & + & (n+1) & + & (n+1) \end{array}[/tex]

Tilsvarende her har vi [tex]n[/tex] ledd som alle sammen er like, og har verdi [tex]n+1[/tex]. Slik at vi får [tex]n(n+1)[/tex], men av samme grunn som før har vi lagt sammen tallrekka vår to! ganger, og må dermed dele på 2. Slik at følgelig fås

[tex]1 \, + \, 2 \, + \, \ldots \, + \, n \, = \, \frac{n(n+1)}{2}[/tex]

Et uoffesielt bevis, som antakeligvis dere har gått igjennom i klassen ^^
Er og mulig å vise denne via induksjon og, men det lar jeg være opp til leser

[dan]

Eventuelt kan man se på et n*n-kvadrat, og merke at arealet av halvparten er lik n^2 / 2, og se at hvis vi så legger til alle de halve klossene vi har trukket en diagonal igjennom, så står vi igjen med summen av alle klossene i en figur hvor den første kolonnen består av 1 kloss, den neste 2, ... og den n-te er n høy.

Men metoden med differenslikning kan anvendes i en del flere tilfeller, i motsetning til dette, som bare litt mer tipp og vinn

Lykke til på eksamen!

[malef]

Tusen takk skal dere har, begge to. Tråder som dette er rent gull! Skal bli greit å bli ferdig med ekamen så jeg kan begynne å lære raskt og gæli igjen

Tar utfordringen Nebu rettet til "leser" :

[tex]1+2+3+---+(n-1)+n=\frac{n(n+1}{2}[/tex]

Ser først om formelen stemmer for n=1:

[tex]\frac{1(1+1)}{2}=1[/tex]

Antar at den stemmer for n=k

[tex]\frac{k(k+1)}{2}[/tex]

Ser så om den stemmer for n=k+1

Vi skal da ende opp med [tex] \frac{(k+1)(k+2)}{2}[/tex]

[tex]\frac{k(k+1)}{2}+k+1=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}[/tex]

Siden formelen stemmer for n=1, n=k og n=k+1, er det bevist at formelen stemmer for alle helttall større enn 1.

Ser det bra ut?

[Nebuchadnezzar]

Essensen er helt riktig, men jeg ville fokusert mer på å skrive eksplisitt HS og VS. VS = 1 og HS = 1 osv. Da vi ikke vet om disse er like enda.

Ville og ha fyllt litt på den siste setningen din

[tex]1 \, + \, 2 \, + \, \ldots \, + \, k \, + \, (k + 1) \, = ( 1 \, + \, 2 \, + \, \ldots \, + \, k ) \, + \, k \, + \, 1 \, = \, \frac{k(k+1)}{2}+k+1 \, = \, \frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} \, = \, \frac{(k+1)(k+2)}{2}[/tex]

men som sagt essensen av hva du skriver er riktig, men på en prøve ville du nok ha skrevet det litt mer formelt med pomp og prakt.

[malef]

Takk for tilbakemelding! Begynner å få tak på og sette pris på konseptet nå, men jeg har ikke bevist noe for andre enn meg selv ennå. Skal se litt på presentasjonen min!