Naturlige logaritmer

[Markussen]

[tex]2lnx+lnx^3=10[/tex]

Hvordan løse denne?

Det jeg har tenkt er at jeg opphøyer alt i e. Og da får jeg; [tex]2x+x^3=e^10[/tex]

Er jeg på rett vei?

[Vektormannen]

Ja, det er en riktig vei (av flere veier) å gå. Men, så må du huske på at når du har en potens med e som grunntall, slik du har her, så er det slik at [tex]e^{a+b} = e^a \cdot e^b[/tex]. Så når du opphøyer med e som grunntall på begge sider så får du

[tex]e^{2\ln x + \ln x^3} = e^{10}[/tex]

[tex]e^{2 \ln x} \cdot e^{\ln x^3} = e^{10}[/tex]

Vi vet at [tex]e^{\ln x^3} = x^3[/tex] (siden e opphøyd i logaritmen til et tall blir tallet selv), men hva med [tex]e^{2\ln x}[/tex]? (Det blir ikke 2x.)

[Markussen]

det blir vel [tex]\frac{2}{x}[/tex]

[Vektormannen]

Nei, ikke helt; husk på at [tex]\ln a^b = b \ln a[/tex]. Hvis vi tenker at b er 2 her da, så har vi at [tex]2 \ln x = \ln x^2[/tex], ikke sant? Tar du resten av ligningen da?

[Markussen]

Beklager! Så på feil fasit... Er jo bare å ta 5 roten av e^10

[Vektormannen]

Ja, det stemmer. Men det blir jo et litt langt steg å plutselig gjøre det, eller fant du ut hva du skulle gjøre nå? (Husk forresten på at du kan forenkle femteroten av noe som er opphøyd i 10: Vi har jo at [tex]\sqrt[m]{a^n} = a^{\frac{n}{m}}[/tex].)

[Markussen]

Jeg fikk [tex]x^5=e^10[/tex] Og da gjorde jeg slik du sa!
Takk for hjelpen!

[Markussen]

Hei igjen. Når vi har funksjonen; [tex]f(x)=\frac{e^x}{x}[/tex]

Så skal jeg finne nullpunkter.

Den har da ingen nullpunkter fordi [tex]e^x[/tex] aldri kan bli 0? Eller er det fler/andre grunner også?

[Vektormannen]

Nei, det er riktig det. En brøk kan bare bli 0 når telleren er 0, og som du sier kan ikke telleren her bli 0.

[Markussen]

En ting til. Når jeg skal finne toppunkter og bunnpunkter til denne funksjonen. Hvordan skal jeg gå frem da?

[tex]f`(x)=\frac{e^x*(x-1)}{x^2}[/tex]

[Vektormannen]

Topp- og bunnpunkt har vi når den deriverte er lik 0. Som jeg sa i sted så vil en brøk være lik 0 når telleren er 0. Hva må x være for at telleren du har her skal bli 0?

[Markussen]

1. Men hva betyr det?

[fuglagutt]

Det betyr at hvis du ser på grafen til f(x) så vil du finne et topp/bunn-punkt(evt terrassepunkt) der x = 1. Dette er fordi du har funnet at stigningstallet er 0 der x = 1.