differensiallikninger ved hjelp av Laplacetransformasjon

[kaffekjele]

Jeg skal løse følgende differensiallikning ved hjelp av Laplacetransformasjon
[tex] y+y^{\prime}+\int_0^t y dt=cos t[/tex] når y(0)=1
men jeg er usikker på om jeg implementerer integralet på rett måte så jeg hadde satt pris på om noen kunne se over oppsettet mitt.

[tex]\cal L {y^{\prime}}[/tex] [tex]+\cal L {y}[/tex][tex]+\frac{1}{s}[/tex][tex]+\cal L {y}[/tex][tex]=\frac{s}{s^2+1}[/tex]

=[tex]sy-y(0)+Y+\frac{1}{s}*Y=\frac{s}{s^2+1}[/tex]

Det er som sagt integralet jeg er usikker på. Jeg har basert meg på følgende utsagn fra læreboka: "Dersom laplacetransformen L(f) til funksjonen f eksisterer for t større eller lik 0, blir
[tex]\cal L[/tex][tex]\int_0^t f(u)du[/tex] = [tex]\frac{1}{s}[/tex][tex]*\cal L(f)[/tex] men det fører jo igjen til at jeg blir sittende med brøken [tex]\frac {Y}{s}[/tex] så jeg vet ikke....

[Gustav]

Tar du Laplacetransformen på begge sider burde du vel få

[tex]Y(s)+sY(s)-y(0)+\frac{1}{s}Y(s)=\frac{s}{s^2+1}[/tex],

der Y(s) er Laplacetransformen til y(t).

Det ser ut som du har gjort det riktig.

[kaffekjele]

Ok, godt å høre. Da blir jeg altså sittende med følgende:

[tex]Y(1+s+\frac{1}{s})= \frac{s}{s^2-1}+1[/tex]

Sitter dermed med brøk på begge sidene.Vil det letteste da være å gange opp med s på begge sidene for å bli kvitt 1/s på venstre sida, eller å flytte alt over på høyre sida men da sitte igjen med en brudden brøk.

[Nebuchadnezzar]

Sett på felles brøkstrek på begge sider, også kryssmultipliser =)