Sum, ulikheter og integral

[Kake med tau]

Hei! Jeg har fått følgende oppgave:

La f være en reell integrerbar funksjon på [tex][a, b][/tex], og [tex]P={{a=x_0, x_1, ..., x_n=b}}[/tex] en partisjon. La [tex]t_i[/tex] være et vilkårlig punkt i [tex][x_{i-1}, x_i][/tex]

Vis at [tex]|\sum_{i=1}^{n}f(t_i)(x_i-x_{i-1})-\int_{a}^{b}f(x)dx|<\epsilon[/tex]

Hittil har jeg tenkt:

[tex]x_{i-1}\leq t_i\leq x_i[/tex]
[tex]m_i\leq f(t_i)\leq M_i[/tex], hvor jeg definerer [tex]m_i, M_i[/tex] henholdsvis minste og største verdi på delintervallet [tex][x_{i-1}, x_i][/tex]

Siden f er integrerbar vet vi at [tex]U(f, P)-L(f, P)<\epsilon[/tex], og

[tex]L(f, P)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq U(f, P)[/tex], [tex]L(f, P)\leq \sum_{i=1}^{n}f(t_i)(x_i-x_{i-1})\leq U(f, P)[/tex]
[tex]0\leq \int_{a}^{b}f(x)dx-L(f, P)\leq U(f, P)-L(f, P)<\epsilon[/tex]

Håper noen kan gi meg litt inspirasjon!

[Gustav]

Vis at [tex]|\sum_{i=1}^{n}f(t_i)(x_i-x_{i-1})-\int_{a}^{b}f(x)dx|<\epsilon[/tex]

La [tex]N=\sum_{i=1}^{n}f(t_i)(x_i-x_{i-1})[/tex] og

[tex]M=\int_{a}^{b}f(x)dx[/tex].

Enten er [tex]L\leq M\leq N\leq U[/tex], eller så er [tex]L\leq N\leq M\leq U[/tex], der L er nedre Riemannsum, og U øvre.

Ta for deg de to tilfellene hver for seg.

[Kake med tau]

[tex]L(f, P)\leq \sum_{i=1}^{n}f(t_i)(x_i-x_{i-1})\leq U(f, P)[/tex] (*)

[tex]L(f, P)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq U(f, P)[/tex]

[tex]-L(f, P)\geq -\int_{a}^{b}f(x)dx\geq -U(f, P)[/tex]

[tex]-U(f, P)\leq -\int_{a}^{b}f(x)dx\leq -L(f, P)[/tex] (**)

Legger sammen (*) og (**):

[tex]L(f, P)-U(f, P)\leq \sum_{i=1}^{n}f(t_i)(x_i-x_{i-1})-\int_{a}^{b}f(x)dx\leq U(f, P)-L(f, P)[/tex]


[tex]-\epsilon<-(U(f, P)-L(f, P))\leq \sum_{i=1}^{n}f(t_i)(x_i-x_{i-1})-\int_{a}^{b}f(x)dx\leq U(f, P)-L(f, P)<\epsilon[/tex]

[tex]|\sum_{i=1}^{n}f(t_i)(x_i-x_{i-1})-\int_{a}^{b}f(x)dx|<\epsilon[/tex]

Ser dette bra ut?