integral

[Janhaa]

jeg har løst I med brute force metoden, men lurer på om noen har en elegant substitusjon eller løsning;

[tex]\Large I= \int \frac{\sqrt x}{\sqrt{3-x}+\sqrt x}\,dx[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Har egentlig ikke noen triks... Grisete integral.

$ \begin{align*}
I & = \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{ 3 - x } + \sqrt{x} } \mathrm{d}x \\
& = \int \frac{ 1 }{ 1 + \sqrt{\frac{3}{x} - 1} } \mathrm{d}x \\
& = \int \frac{1}{ 1 + \sqrt{u}} \cdot \left( -3 \frac{ \mathrm{d}u }{ (u + 1)^2 } \right) \\
& = -3 \int \frac{1}{4} \frac{ 1 - \sqrt{u} }{ u + 1 } \, + \,
\frac{1}{2} \frac{ 1 - \sqrt{u} }{ (u+1)^2 } \, + \,
\frac{1}{4} \frac{ 1 }{\sqrt{u} + 1 } \mathrm{d}u \\
& = \ldots
\end{align*}
$

Via $u = \frac{3}{x} - 1 $. Noe allà det her?

[Janhaa]

Takk for bidrag, jeg brukte den kjedelige substitusjonen [tex]u=\sqrt{3-x}[/tex]
og endte opp med et trigonometrisk integral, som heller ikke var rett fram.
Imidlertid er jeg sikker på en direkte trigonometrisk substitusjon skal funke, "bare" å finne den riktige...
Har prøvd endel - også vha hyperbolske trig substitusj - uten å lykkes...

[Gustav]

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3-x}+\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{3-x}-\sqrt{x})}{3-2x}=\frac{\sqrt{x(3-x)}}{3-2x}-\frac{x}{3-2x}$

Det andre leddet er trivielt, så ser kun på første ledd.

La $x=\frac32\left ( \frac{1}{\cosh(v)}+1\right )$. Får at


$\int \frac{\sqrt{x(3-x)}}{3-2x}\,dx= \int \frac34 \tanh^2 v\,dv$, som er trivielt via delvis integrasjon.

[Janhaa]

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3-x}+\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{3-x}-\sqrt{x})}{3-2x}=\frac{\sqrt{x(3-x)}}{3-2x}-\frac{x}{3-2x}$
Det andre leddet er trivielt, så ser kun på første ledd.
La $x=\frac32\left ( \frac{1}{\cosh(v)}+1\right )$. Får at
$\int \frac{\sqrt{x(3-x)}}{3-2x}\,dx= \int \frac34 \tanh^2 v\,dv$, som er trivielt via delvis integrasjon.

helt genial substitusjon; jeg er litt rusten mhp integralregning for tia, men hadde aldri klart "å komme på denne",
takker...