Uniform kontinuerlig

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Determined
Dirichlet
Dirichlet
Posts: 194
Joined: 25/01-2013 17:58

Hei. Jeg har litt problemer igjen. Jeg skal vise at $f(x) = x^2$ er kontinuerlig, men ikke uniformt kontinuerlig. Første delen løste jeg ved å si at funksjonen er kontinuerlig i et vilkårlig punkt $a$ om $|x-a| < \delta < min\{1,\frac{\epsilon}{2|a|+1}\}$.

Men at den ikke er uniformt kontinuerlig skjønner jeg ikke hvordan jeg skal gripe an. Det må jo da vises at det finnes en $\epsilon > 0$ slik at uansett hvor liten man velger $\delta > 0$ så finnes det punkter x og y slik at $|x-y| < \delta$ men $|x^2-y^2| \geq \epsilon$.

Men jeg vet ikke... er ikke særlig god på epsilon-delta-argumentasjon... :P
wingeer
Descartes
Descartes
Posts: 414
Joined: 24/05-2008 17:22
Location: Trondheim

Tenk nøye gjennom definisjonen. En funksjon $f$ er uniformt kontinuerlig dersom det for alle $\epsilon > 0$ eksisterer en $\delta > 0$ slik at FOR ALLE $x,y$ i domenet har man $|x-y|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \epsilon$. Med andre ord kan vi fiksere $\epsilon>0$. Vi kan nå prøve å finne $x,y$ slik at implikasjonen vil være ugyldig uansett hva delta er. Kan du komme på noen slike $x,y$?
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Determined
Dirichlet
Dirichlet
Posts: 194
Joined: 25/01-2013 17:58

Jeg klarer ikke dette, og jeg tenker at hvis $|x-y|$ skal kunne gå mot null, så må også $|x^2-y^2| = |x+y||x-y|$ gå mot null på grunn av den siste faktoren...

Så derfor finner jeg ikke $x,y,\epsilon$ slik at uansett hvor liten $\delta$ vi har, så er $|x-y| < \delta$ og $|x^2-y^2| \geq \epsilon$...

Jeg tar jo feil, selvsagt...
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

$|x^2-y^2|=|x+y||x-y|$. Velg en vilkårlig $\delta>0$. Da er det mulig å velge x og y store nok slik at $|x+y|>\frac{\epsilon}{\delta}$.
Determined
Dirichlet
Dirichlet
Posts: 194
Joined: 25/01-2013 17:58

Smart triks!

Jeg lurer egentlig på om jeg har noen fremtid innen matematikk om jeg ikke klarer slike ting som dette hehe... :shock:

Men det er vel bare å øve (er jo sterkere på andre områder innen matematikken enn dette og, så).

Men takk! :)
Emilga
Riemann
Riemann
Posts: 1552
Joined: 20/12-2006 19:21
Location: NTNU

Tenk heller: dette var et lurt triks, det skal jeg stjele! 8-)
Determined
Dirichlet
Dirichlet
Posts: 194
Joined: 25/01-2013 17:58

Hehe, ja, det er tyverier som gjelder innen Akademia, og det har det jo alltid vært! :P
Post Reply