Merkelig oppgave (rekker og uniform konvergens)

[Determined]

Vis at $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos{(nx)}}{n^2}$ konvergerer uniformt mot en funksjon f på hele R.

Da får jeg at dette stemmer siden $|\frac{\cos{(nx)}}{n^2}| \leq \frac{1}{n^2}$.

Forklar hvorfor f er kontinuerlig.

Ser at $f(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$, altså en konstant, ergo kontinuerlig.

Vis at $\int_0^x f(t)dt = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin{(nx)}}{n^3}$ for alle $x$.

Deriverer jeg $ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin{(nx)}}{n^3}$ får jeg jo $ \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos{(nx)}}{n^2}$. (Jfr. analysens fundamentalteorem...)

I det siste satte jeg jo $f(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos{(nx)}}{n^2}$. Jeg antar at jeg kan gjøre dette fordi når den uendelige summen konvergerer uniformt mot den funksjonen $f(t)$, så er de jo like...

Men jeg syns liksom ikke jeg har forstått alt korrekt her. Syns oppgava var for lett (sett at jeg har forstått den korrekt); det var jo bare å putte inn delene som om man skulle bygge Lego...

Noen innspill?

[Gustav]

La $\displaystyle f_n(x)=\sum_{k=1}^n \frac{\cos (kx)}{k^2}$. Du har vist at funksjonsfølgen $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb{N}}$ konvergerer uniformt mot en funksjon som vi kaller $f(x)$. Legg merke til at $f_n(x)$ er en endelig sum av kontinuerlige funksjoner, altså er $f_n(x)$ kontinuerlig for alle $n$. Siden $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb{N}}$ er en følge av kontinuerlige funksjoner som konvergerer uniformt mot f(x), vil grensen f(x) være kontinuerlig. Denne siste setningen er i seg selv et veldig vesentlig teorem som du bør merke deg.

Legg merke til at det er essensielt at vi har uniform konvergens. Dersom $f_n(x)$ er en funksjonsfølge som ikke konvergerer uniformt, men f.eks. kun punktvis, vil resultatet ikke nødvendigvis følge. Et standard moteksempel er følgen $g_n(x)=x^n$ på intervallet $[0,1]$. Denne konvergerer punktvis mot 0 for alle x<1 , men ikke uniformt mot 0 på [0,1). Grensen g(x) til følgen er g(x)=0 for x<1, g(1)=1. Altså er g(x) ikke kontinuerlig i x=1. ($g(x)$ har en "jump"-diskontinuitet i x=1)

På den andre oppgaven er moralen at du kan gjøre et ombytte av en uendelig sum og integralet kun dersom den uendelige summen konvergerer uniformt. Dersom summen ikke hadde konvergert uniformt hadde du ikke hatt lov til dette uten videre!

[Determined]

Hehe, takk for svar! Mye å ta hensyn til, gitt...

[viking]

Jeg tror poenget med oppgaven er å vise den lille men viktige forskjellen mellom en sum av funksjoner som konvergerer uniformt, og en som bare konvergerer punktvis.

$f(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos{(nx)}}{n^2}$ konvergerer uniformt mot en funksjon f på hele R

$s(t) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin{(nx)}}{n}$ konvergerer ikke uniformt mot en funksjon f på hele R

Forskjellen er at f konvergerer uniformt og s konvergerer punktvis.

Jeg gjetter at hvis en (endelig) funksjon konvergere punktvis, vil integralfunksjonen konvergere uniformt. s er den deriverte av f, og selv om alle leddene i s er kontinuerlige, så er summen diskontinuerlig (for x=2*m*pi)

[Gustav]

Forskjellen er at f konvergerer uniformt og s konvergerer punktvis.

Jeg gjetter at hvis en (endelig) funksjon konvergere punktvis, vil integralfunksjonen konvergere uniformt. s er den deriverte av f, og selv om alle leddene i s er kontinuerlige, så er summen diskontinuerlig (for x=2*m*pi)

s slik du har definert den konvergerer ikke punktvis siden den harmoniske rekka er divergent.

Poenget med oppgaven er nok å illustrere følgende to konsepter:

http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_M-test

http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_limit_theorem

[viking]

Forskjellen er at f konvergerer uniformt og s konvergerer punktvis.

Jeg gjetter at hvis en (endelig) funksjon konvergere punktvis, vil integralfunksjonen konvergere uniformt. s er den deriverte av f, og selv om alle leddene i s er kontinuerlige, så er summen diskontinuerlig (for x=2*m*pi)

s slik du har definert den konvergerer ikke punktvis siden den harmoniske rekka er divergent.
...

Min typo. Jeg mente selvfølgelig at d/dt cos er -sin. Korrigert ovenfor.

f konvergerer mot 1/4x^2 -pi/2x+1/6pi^2 i intervallet 0-2pi.