Denne oppgaven er hentet fra Putnam 2012:
La $d_1, d_2, ... , d_{12}$ være reelle tall i det åpne intervallet $(1, 12)$. Vis at det finnes tall $i, j, k$ slik at $d_i, d_j, d_k$ er sidene til en spissvinklet trekant.
Spissvinklet trekant i et intervall
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Sorter slik at $d_1\le d_2\le\dots\le d_{12}$. Vi skal vise at det fins en $i$ slik at $d_i$, $d_{i+1}$ og $d_{i+2}$ danner en spissvinkla trekant. Kriteriet for dette er at $d_i^2+d_{i+1}^2>d_{i+2}^2$ som man kan se for eksempel ved å isolere cosinus i cosinussetninga. (At sidene da faktisk danner en trekant følger siden $c^2<a^2+b^2<a^2+b^2+2ab=(a+b)^2$ som impliserer $a+b>c$ for positive $a$, $b$ og $c$.)
Anta for motsigelse at det ikke fins en slik $i$. Da er
$d_1^2+d_2^2\le d_3^2$,
$d_2^2+d_3^2\le d_4^2$,
$\dots$
$d_{10}^2+d_{11}^2\le d_{12}^2$.
Vi har også, siden $d_1,d_2\in(1,12)$, at $1<d_1^2, d_2^2$ slik at første ulikhet gir $2<d_3^2$. Men da gir andre ulikhet $3<d_4^2$, og Fibonaccitalla følger på slik at vi etter noen iterasjoner får $144<d_{12}^2$ som ikke er forenlig med $d_{12}\in(1,12)$.
Stilig oppgave!
Anta for motsigelse at det ikke fins en slik $i$. Da er
$d_1^2+d_2^2\le d_3^2$,
$d_2^2+d_3^2\le d_4^2$,
$\dots$
$d_{10}^2+d_{11}^2\le d_{12}^2$.
Vi har også, siden $d_1,d_2\in(1,12)$, at $1<d_1^2, d_2^2$ slik at første ulikhet gir $2<d_3^2$. Men da gir andre ulikhet $3<d_4^2$, og Fibonaccitalla følger på slik at vi etter noen iterasjoner får $144<d_{12}^2$ som ikke er forenlig med $d_{12}\in(1,12)$.
Stilig oppgave!
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Jeg høyner til 13: La $d_1,\dots,d_{13}\in\mathbb R$. Vis at vi kan finne $i$ og $j$ slik at $0<\frac{d_i-d_j}{1+d_id_j}<2-\sqrt3$.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Heisann, 13 forskjellige reelle tall skal det være.