Invers funksjon, snudd brøk

[SH2707]

Hei!

Jeg skal finne den inverse funksjonen og løser derfor først med hensyn på x, men i løsningsforslaget snur de en brøk uten at jeg helt forstår hvorfor.. Antar at det har noe med minusen foran x på venstre side å gjøre(?) men ser ikke hvilke regler/formler som benyttes ved den omformingen?

[Aleks855]

Kan ta det herfra:

$\displaystyle -x\ln2 = \ln(\frac{100-y}{y})$

Deler på ln2

$\displaystyle -x = \frac1{\ln2}\cdot\ln(\frac{100-y}{y})$

Ganger med -1.

$\displaystyle x = \frac1{\ln2}\cdot-\ln(\frac{100-y}y)$

Herfra brukes regelen om at $\displaystyle \ln\frac ab = -\ln \frac ba$

$\displaystyle x = \frac1{\ln2}\ln(\frac y{100-y})$

[Brahmagupta]

Ved de vanlig logaritmereglene har vi at [tex]\log{\frac{x}{y}}=\log{x}-\log{y}=-(\log{y}-\log{x})=-\log\frac{y}{x}[/tex]
Eventuelt [tex]-\log{\frac1{x}}=\log{x}[/tex]

Så når [tex]-x\log{2}=\log{\frac{100-y}{y}}[/tex] og vi ganger med minus 1 på begge sider får vi

[tex]x\log{2}=-\log{\frac{100-y}{y}}=\log{\frac{y}{100-y}}[/tex]

Her har jeg brukt log i stedet for ln men det gjør ingen forskjell.

[viking]

Siden alle har elektroniske kalkulatorer har kanskje den opprinnelige hensikten med log forsvunnet. Den gangen en kalkulator var en person og ett yrke, var logaritmen brukt nettopp til å erstatte divisjon med minus, og gange med pluss, så en brøkinversjon blir bare et fortegnsskifte.

Kanskje denne hensikten gjøre det enklere å huske regnereglene for logaritmer slik at det ikke bare blir huskeregler.

[SH2707]

Skjønner! Tusen takk for hjelpen!