sin(x^3)

[mikki155]

Trenger litt hjelp her:

[tex]\int_{-\pi}^{\pi} {sin(x^3) dx}[/tex]

Skjønner ikke helt hvordan det kan bli et fint integral

[Janhaa]

du kan iallfall uttrykke sin(x^3) som ei uendelig rekke;

[tex]\sin(x^3)=x^3\,-\,\frac{x^9}{3!}\,+\,\frac{x^{15}}{5!}\,-\,\frac{x^{21}}{7!}+...[/tex]

men det er kanskje juks, og ikke det du tenkte på...

[Vektormannen]

Hint: dette er en odde funksjon

[mikki155]

Det hadde jeg ikke tenkt på

Men hvor mange ledd burde jeg ha med før jeg integrerer (i.e. hvor stor kan feilen være)? Eller tenker jeg feil nå?

[mikki155]

Ok, så siden det er en odde-funksjon, vil den da gå mot [tex]x^3[/tex] (i intervallet mellom [tex]-\pi[/tex] og [tex]\pi[/tex])?

[Vektormannen]

Nei, men siden funksjonen er odde er arealet fra $-\pi$ til 0 like stort som arealet fra 0 til $\pi$, men med motsatt fortegn. Hva må da integralet bli?

[mikki155]

Hmm, jeg skjønte det du mente om at [tex]\int_{-\pi}^0 sin(x^3) = -\int_0^{\pi} sin(x^3)[/tex], men er usikker på hvor jeg skal gå fra der. Er det kanskje mulig å bruke summen av en rekke (partisjon [tex]\pi/n[/tex]) ? Jeg kunne sikkert satt meg ned og prøvd meg frem, men må nesten sove xP Får se mer på det i morgen.

Forresten, finnes det noen enklere måte å finne Maclaurin-rekka til [tex]sin(x^3)[/tex] f. eks. uten å måtte derivere seg i hjel?

[Vektormannen]

Bruker du det i kombinasjon med at $\int_{-\pi}^\pi \sin(x^3) dx = \int_{-\pi}^0 \sin(x^3) dx + \int_0^\pi \sin(x^3) dx$ så er vel svaret rett rundt hjørnet?

For å finne Maclaurinrekka til $\sin(x^3)$ er det bare å plugge $x^3$ inn for $x$ i Maclaurinrekka til $\sin x$.

[mikki155]

Aha, da ble jo selvsagt rekka litt enklere ^^

Men nå har jeg hvert fall uttrykt rekka slik:

[tex]sin(x^3) = - \sum\limits_{i=1}^n (-1)^i \cdot \frac {x^{3(2i-1)}}{(2i-1)!}[/tex]
Blir den riktig?

Videre, hvordan kan jeg integrere den mellom [tex]x = 0[/tex] og [tex]x = \pi[/tex]? Beklager at det går så tregt xP

[Vektormannen]

Det ser riktig ut ja, men er det gitt i oppgaven at dere skal bruke rekker her? Det at vi kan dele opp integralet i to deler og det at funksjonen er odde gir jo til sammen at $\int_{-\pi}^\pi \sin(x^3) dx = \int_{-\pi}^0 \sin(x^3) dx + \int_0^\pi \sin(x^3) dx = -\int_0^\pi \sin(x^3) dx + \int_0^\pi \sin(x^3) dx = 0$.

[Nebuchadnezzar]

[mikki155]

Aha, jeg tror jeg misforstod oppgaven, for det virket som de spurte om summen av arealene mellom [tex]-\pi[/tex] og 0, og 0 og [tex]\pi[/tex] (interpet the integrals as areas). Da hadde det vel blitt en litt mer komplisert sak?

[Vektormannen]

Jeg vil heller tro at "intrepret the integrals as areas" heller er ment som et hint om at man bør finne dem ved å se på arealene, dvs. uten å finne en antiderivert osv.

[mikki155]

Oki, takk for hjelp =)

[Nebuchadnezzar]

Anbfaler deg å prøve å bruke taylor.
Tegn taylorutvidelsen til $\sin(x^3)$ for de 3-4 første leddene
og se hva som skjer med funksjonen for $x>2$. Regner en ut rekka direkte
får man som du sier
$ \hspace{1cm}
\int_0^\pi \sin(x^3)\mathrm{d}x = \sum_{k=0}^N \left( \int_0^\pi (-1)^k \frac{x^{3(2k+1)}}{(2n+1)!}\mathrm{d}x\right) = \sum_{k=0}^N \frac{1}{2} \frac{(-1)^k \pi^{3k+2}}{(3k+2)(2k+1)!}
$
Problemet er at rekken er alternerende og konvergerer relativt sakte. Problemet er at nevner vokser seg enormt stor, før fakultetsfunksjonen "vinner"
slik at om du ikke har en kraftig kalkulator så vil du aldri klare å beregne summen. Ved å bruke
feilestimatet til taylor kan jo du se hvor mange ledd en må ha for å få en nøyaktighet på $10^{-3}$.
Du kan og prøve å tilnærme rekken med Simpsons metode, men konvergensen er like dårlig.
Det som funker relativt bra er midtpunkt metoden, da trenger et par hundre ledd for å få to desimalers nøyaktighet.
Men hvert ledd er lite og raskt og beregne i forhold til taylor.

Poenget er at funksjonen er vanskelig å tilnærme numerisk, da den oppfører seg stygt.
Et triks en kan bruke er å bruke substitusjonen $u \mapsto x^3$
som gir at
$ \hspace{1cm}
\int_0^\pi \sin(x^3)\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi^3} \frac{\sin u}{u^{2/3}}\mathrm{d}u
$
Ved å benytte seg av eksempelvis midtpunkt, eller trapes får en noe raskere konvergens,
merk at taylor fortsatt ikke funker (hvorfor?) Du kan og plotte funksjonen og se hvor mye penere den oppfører seg.