Integrasjon

[marvango]

rumpetroll.png (26.54 KiB) Viewed 2020 times

I don't get this shit. Har funnet løsningen på hele greia ved å integrere uttrykket, omgjøre til F(b)-F(a) og sette det lik b/a. Da kunne jeg finne et uttrykk for b og sette den inn i formelen [tex]a^2+b^2=25[/tex]. Fikk a=5/2 og b=[tex]5sqrt(3)/2[/tex] (de oppgir jo at begge tallene er positive, derfor kunne jeg luke ut negative løsninger).

Skjønner ikke hvilket uttrykk for a de snakker om...

Edit: For å presisere så får jeg at cos[tex]\Theta[/tex]=1/2. Ikke a^2-2a/46 (eller noe sånt).

[Janhaa]

rumpetroll.png

I don't get this shit. Har funnet løsningen på hele greia ved å integrere uttrykket, omgjøre til F(b)-F(a) og sette det lik b/a. Da kunne jeg finne et uttrykk for b og sette den inn i formelen [tex]a^2+b^2=25[/tex]. Fikk a=5/2 og b=[tex]5sqrt(3)/2[/tex] (de oppgir jo at begge tallene er positive, derfor kunne jeg luke ut negative løsninger).
Skjønner ikke hvilket uttrykk for a de snakker om...
Edit: For å presisere så får jeg at cos[tex]\Theta[/tex]=1/2. Ikke a^2-2a/46 (eller noe sånt).

jeg fikk med mye grisejobb...

[tex]\large \cos(\theta)=\frac{2a\sqrt{25-a^2}}{25}[/tex]

[jhoe06]

$ \cos \theta $ relateres til $ \tan \theta $ gjennom trigonometriske identiteter. $ \tan \theta $ relateres til $ a $ og $ b $ gjennom ligningen med integralet. $ b $ kan uttrykkes via $ a $ gjennom den Pythagoreiske ligningen. Kan nevne at jeg fikk samme svar som Janhaa.

[marvango]

Forsto det etterhvert, men tok en pause for å se på film. Finne uttrykk for b fra pytagoras og sette inn i F(b)-F(a), sant?

Så mye enklere enn det jeg gjorde, men mye mer knot og drittlikninger.

Edit: Fikk [tex]2a\sqrt{1-a^2}[/tex]. Men hypotenusen hadde endret seg til 1 fordi jeg leverte en annen oppgave isted. Så det er jo forsåvidt det samme svaret.

[Nebuchadnezzar]

Fikk samme som Janhaa, artig oppgave. Var ikke så mye arbeid
$ \hspace{1cm}
\begin{array}{cl}
\tan^2(\theta) & = \left(\int_a^b \frac{2ab}{x^3}-\frac{x}{ab}\,\mathrm{d}x \right)^2
= \frac{1}{4}\left( \frac{b}{a} -\frac{a}{b} \right)^2 \\
\frac{1}{\cos^2(x)} - 1 & =\left( \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{1}{2} +\left( \frac{a}{2b} \right)^2\\
\cos^2 x & = \left[ \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + 1+\left( \frac{a}{2b} \right)^2\right ]^{-1} \\
\cos x & = \sqrt{ \frac{4b^2 \cdot a^2}{\left( a^2 + b^2\right)^2} }
= \frac{2ab}{25}
= \frac{2a\sqrt{25-a^2}}{25}
\end{array}
$
Hvor det bla ble brukt at
$\tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1 - \cos^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)}-1$
og
$ \frac{1}{4}\left( \frac{b}{a} -\frac{a}{b} \right )^2 + 1 = \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \underbrace{2 \left( \frac{b}{2a} \right) \left( \frac{a}{2b} \right)}_{1}+\left( \frac{a}{2b} \right)^2 = \left( \frac{a}{2b} + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{(a^2+b^2)}{4a^2b^2}$

[WarpField]

Fikk samme som Janhaa, artig oppgave. Var ikke så mye arbeid
$ \hspace{1cm}
\begin{array}{cl}
\tan^2(\theta) & = \left(\int_a^b \frac{2ab}{x^3}-\frac{x}{ab}\,\mathrm{d}x \right)^2
= \frac{1}{4}\left( \frac{b}{a} -\frac{a}{b} \right)^2 \\

\end{array}
$

$ \frac{1}{4}\left( \frac{b}{a} -\frac{a}{b} \right )^2 + 1 = \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \underbrace{2 \left( \frac{b}{2a} \right) \left( \frac{a}{2b} \right)}_{1}+\left( \frac{a}{2b} \right)^2 = \left( \frac{a}{2b} + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{(a^2+b^2)}{4a^2b^2}$

Hei Nebuchadnezzar, takk for hjelpen det var virkelig oppklarende, men jeg sliter litt med å forstå hvordan du kom frem til at integralet av tan^2(theta)=1/4 (b/a - a/b)^2. Hadde du giddet og utdype det så hadde det vært utrolig fint. Regner med at jeg bare gjorde et eller annet tullete når jeg integrerte selv. (vil bare skjønne hva jeg gjør feil)

[Nebuchadnezzar]

Jeg gjorde det vel slik
$
\tan \theta = \int_a^b \frac{2ab}{x^3} - \frac{x}{ab} \,\mathrm{d}x
= \left[ -\frac{2ab}{2x^2} - \frac{x^2}{2ab} \right]_a^b
= \left( \frac{ab}{a^2} + \frac{a^2}{2ab} \right) - \left( \frac{ab}{b^2} + \frac{b^2}{2ab} \right)
= \left( \frac{2b}{2a} + \frac{a}{2b} \right) - \left( \frac{2a}{2b} + \frac{b}{2a} \right)
= \frac{1}{2}\left( \frac{b}{a} - \frac{a}{b} \right)
$
Merk at $[-x-y]_a^b = -[x+y]_a^b = [x+y]_b^a$ =)