Derivasjon av den naturlige logartimen

[QWSA]

Hei!

Sitter nå og øver litt til eksamen, og går igjennom de første (elementære) oppgavene vi fikk utdelt.

Skal derivere ln [tex]\sqrt{x/2}[/tex], men får det rett og slett ikke til å stemme.
Prøver å gjøre det om til [tex]\frac{1}{\sqrt\frac{x}{2}}[/tex], men stemmer det?

På forhånd takk.

[Nebuchadnezzar]

Om du mener at
$ \hspace{1cm}
\log \sqrt{\frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \log \frac{x}{2}
$
Så stemmer dette. (Høyreklikk, eller velg siter for å se koden)
Det kommer fra at $a \log b = \log b^a$. Du kan forenkle uttrykket enda mer om du
bruker at $\log a/b = \log a - \log b$, men det får være opp til deg.

[Zeph]

Her er det kjernereglen vi må jobbe med.

[tex](lnx)^{\prime}=\frac{1}{x}[/tex]


Så det du må gjør er

[tex]u=\sqrt{\frac{x}{2}}[/tex]

så
[tex](lnu)^{\prime}=\frac{1}{u}\cdot{u^{\prime}}[/tex]

[QWSA]

Nei, var ikke helt det jeg tenkte på. Holder meg unna log i denne oppgaven, da det står "ln" i oppgaveteksten. Hovedproblemet mitt går ut på å derivere den oppgitte funksjonen.

[QWSA]

Takk, da prøver jeg frem.

[Zeph]

Nei, var ikke helt det jeg tenkte på. Holder meg unna log i denne oppgaven, da det står "ln" i oppgaveteksten. Hovedproblemet mitt går ut på å derivere den oppgitte funksjonen.

bare som en liten input, så er [tex]\log[/tex] bare en fellesbetegnelse.

F.eks

[tex]ln=\log_e[/tex]

altså en logaritme med base i eulertallet.

Det du er vandt med som lg, er lik [tex]\log_{10}[/tex]

altså en logaritme med base 10. Briggsk logaritme

[Nebuchadnezzar]

I tillegg så er det standard at $\log(x) = \ln(x)$, $\lg(x) = \log_{10}(x)$ og $\operatorname{lb}(x) = \log_2(x)$.
Men det er noe enklere å skrive om uttrykket ditt slik du har gjort, også derivere enn å deriverere med en gang.
Så det er rett.