Antall heltallsløsninger

[Phil Leotardo]

Halloen,

trenger litt hjelp med denne.

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 50, hvor x1, x2, x3 skal være 0 eller større og x4 og x5 skal være 10 eller mindre. Er dette et eks. på en oppg. hvor man må bruke mengder og snitt og union og slikt? Eller er det en rett fram måte å gjør denne på lik linje som om det hadde stått 10 eller større?

[Nebuchadnezzar]

Kom frem til 105391 via bruteforce.

[Kork]

Tell alle løsninger der [tex]{x_4} \ge 0[/tex] og [tex]{x_5} \ge 0[/tex], trekk så ifra antall løsninger der [tex]{x_4} \ge 11[/tex] og [tex]{x_5} \ge 11[/tex], da sitter du igjen med antall løsninger der [tex]0 \le {x_4} \le 10[/tex] og [tex]0 \le {x_5} \le 10[/tex].
Høres det riktig ut?

[Phil Leotardo]

Kom frem til 105391 via bruteforce.

Det er riktig det iflg. fasit. Hvordan tenkte du?

[Janhaa]

Halloen,
trenger litt hjelp med denne.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 50, hvor x1, x2, x3 skal være 0 eller større og x4 og x5 skal være 10 eller mindre. Er dette et eks. på en oppg. hvor man må bruke mengder og snitt og union og slikt? Eller er det en rett fram måte å gjør denne på lik linje som om det hadde stått 10 eller større?

husker ikke helt hvordan disse løses, men man bruker binomialkoeffisienten:

[tex]\binom{45+5-1}{45}=\binom{49}{45}[/tex]

så må der trekkes fra for x4 og x5, og da fås Nebu sin

[Kork]

Beklager jeg tok feil i første post, det du må gjøre er å telle
antall løsninger i ikke negative integere, så må du trekke fra alle der
x4 er 11 eller større, og så trekke fra alle der x5 er 11 eller større. Men da har vi trukket fra alle der både x4 og x5 er større enn 11 to ganger. Altså må vi legge til alle der både x4 og x5 er større enn 11:

[tex]\left( \matrix{ 54 \cr 50 \cr} \right) - 2 \cdot \left( \matrix{ 43 \cr 39 \cr} \right) + \left( \matrix{ 32 \cr 28 \cr} \right) = 105391[/tex]

[Phil Leotardo]

Ja, det siste stemmer i fasit som læreren har lagt ved uten noe videre begrunnelse. Så da forstod lite. Men minner veldig om mengder med union og snitt og slikt ja, så da får vi bare godta det. Takk for hjelp alle.

[Phil Leotardo]

Et spørsmål til her for øvrig. Når det kommer til en "vanlig" slik oppgave, f.eks. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 50, har vi jo binomialkoeff med n = 5, r = 50 slik at vi ender opp med [tex]\binom{5 + 50 - 1}{50}[/tex], men om det f.eks. står 2 foran x1, hva blir n da? 6?

[Kork]

Du er fort at det ikke funker med n=6 for da viser formelen 11 ganger flere løsninger enn før.

Men du kan jo telle alle løsninger der x1=0, det blir C(50+4-1,50), så kan du telle alle der x1=1, det er C(48+4-1,48), osv..

Du kan da telle helt opp til x1=25 og summen av disse er tallet du er ute etter.