Approximation Taylor Series

[Zeph]

Use [tex]P_2(x)[/tex] for the function [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex] about [tex]64[/tex], to approximate [tex]\sqrt{61}[/tex]. Also, estimate the error and write the smallest interval you can be sure contains the value.

Selve approksimasjonen går forsåvidt greit. Problemet oppstår når jeg skal bestemme usikkerheten.

Kom henholdsvis frem til

[tex]8+\frac{-3}{16}-\frac{1}{2}(\frac{1}{2048})(9)\approx{7.8103027}[/tex]

Når jeg skulle bestemme usikkerheten, sto jeg fast.

Selvfølgelig har vi jo [tex]E_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}[/tex]
Så vi får jo i denne oppgaven

[tex]E_{n}(x)=\frac{f^{(3)}(s)}{(3)!}(61-64)^{3}[/tex], hvor [tex]61\leq{s}\leq{64}[/tex]

Videre så sjekket fasiten fordi jeg sto fast, og sliter med å forstå hva som som skjer her:

Clearly, [tex]R_{2}<0[/tex]. If [tex]t\geq{49}[/tex] and in particular [tex]61\leq{t}\leq{64}[/tex], then

[tex]|f^{3}(t)|\leq{\frac{3}{8}(49)^{-\frac{5}{2}}}=K[/tex]

For det første, hvor kommer [tex]49[/tex] fra? Og hvordan kan de skrive at[tex]49[/tex] er mindre eller lik [tex]t[/tex], for så å skrive at [tex]t[/tex] ligger i intervallet [tex][61,64][/tex]?. Har man ikke da gjort noe som krever smekk på mandlene?

Setter pris på rettledning.

[Gustav]

De har nok brukt 49 siden det er det største kvadrattallet mindre enn 61, så det er mulig å regne ut $49^{\frac52}=7^5$ eksakt. Det er også klart at feilleddet er mindre enn dette.

[Zeph]

Ok takk.

Men fortsatt, hvordan de definerer [tex]t[/tex] klarer jeg ikke se noen logikk i.

[Gustav]

Ok takk.

Men fortsatt, hvordan de definerer [tex]t[/tex] klarer jeg ikke se noen logikk i.

t er bare den variabelen som må ligge mellom 64 og 61 i uttrykket for feilleddet i Taylorutviklingen. Poenget er at hvis vi setter t=49 inn i uttrykket for feilen, vil vi få en øvre grense for feilen.

[Zeph]

Okei takk