Kjeglesnitt

[Jerry]

Har to oppgaver jeg kunne trengt litt hjelp på, de er ganske så grunnleggende, men jeg skjønner det ikke helt.

Find the equation
1
Ellipse with foci at (0,1) and (4,1) and eccentricity 1/2. Hva er eccentricity?

2
Parabola with focis at (2,3) and vertex at (2,4). Denne har jeg vanskeligheter med å forestille meg.

[Solar Plexsus]

1) I en ellipse der storeaksen er av lengde s og avstanden mellom ellipsens fokuser er d, defineres ellipsen eksentrisitet e som forholdet mellom d og s, dvs. at e=d/s. M.a.o. er 0<e<1.

2) Denne parabelen er symmetrisk om linja x=2 (kalles parabelens akse) med toppunkt i (4,2) (vertex). Parabelens styrelinje står vinkelrett på parabelens akse. Ettersom toppunktet har samme avstand til fokus som til styrelinjen, er styrelinjen gitt ved linjen y=5. Per defininsjon er en parabel et kjeglesnitt med eksentrisiteten 1. Dette innebærer at ethvert punkt på parabelen har samme avstand til fokus som til styrelinjen. I dette tilfellet er fokus (2,3) mens styrelinjen y=5, som betyr at likningen for parabelen blir

(1) (x - 2)[sup]2[/sup] + (y - 3)[sup]2[/sup] = (y - 5)[sup]2[/sup].

(Her er (x,y) et punkt på parabelen, så uttrykkene på venstre og høyre side av likhetstegnet i (1) er kvadratet av avstanden mellom hhv. fokus og (x,y) og styrelinjen og (x,y)). Likning (1) kan forenkles til

y = (-x[sup]2[/sup]/4) + x + 3.