Hei jeg fikk riktig svar
$y=\frac {-cosx}{x^2} + \frac{c}{x^2}$
For x ulik 0.
Men nå ber oppgaven meg om å avgjøre om det fins noen løsning som er definert for alle x.
Hva menes med det? Og hvordan finne det og hvordan ser en slik løsning ut?
differensiallign
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Det er klart at løsningen du har funnet ikke er definert for x=0. Spørsmålet er om man kan utvide løsningen til å gjelde også i x=0, på en slik måte at y(x) er kontinuerlig i punktet x=0. (og videre at y(x) er én eller flere ganger deriverbar i x=0. Hvor glatt en slik funksjon skal være kommer generelt an på hva som er spesifisert i oppgaven.)
La $y_c(x)=\frac{c-\cos x}{x^2}$.
Dersom $c\neq 1$ er det klart at $y_c(x)$ ikke kan gjøres kontinuerlig i x=0 siden y(x) vokser mot uendelig når x nærmer seg 0, så vi forkaster disse mulighetene.
La $c=1$, slik at $y(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$.
L´Hopital gir nå at $\lim_{x\to 0}y(x) = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{2}=\frac12$.
Vi kan altså definere $y(0)=\frac12$, slik at y(x) blir kontinuerlig på hele $\mathbb{R}$.
Spørsmålet nå er om denne funksjonen vil være k ganger deriverbar i x=0 for k=1,2,3,... I så fall må de k ganger høyre- og venstrederiverte være like.
La $y_c(x)=\frac{c-\cos x}{x^2}$.
Dersom $c\neq 1$ er det klart at $y_c(x)$ ikke kan gjøres kontinuerlig i x=0 siden y(x) vokser mot uendelig når x nærmer seg 0, så vi forkaster disse mulighetene.
La $c=1$, slik at $y(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$.
L´Hopital gir nå at $\lim_{x\to 0}y(x) = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{2}=\frac12$.
Vi kan altså definere $y(0)=\frac12$, slik at y(x) blir kontinuerlig på hele $\mathbb{R}$.
Spørsmålet nå er om denne funksjonen vil være k ganger deriverbar i x=0 for k=1,2,3,... I så fall må de k ganger høyre- og venstrederiverte være like.
-
Guest
Takk for forklaringen. Men når det kommer til antall k så finner jeg bare en gang deriverbar altså,
[tex]y^\prime(0)=\frac{1}{2}^\prime[/tex]
[tex]y^\prime(0)=0[/tex]
tenker jeg i riktig retning nå? hvis ikke, kan du gi eksempel på antall k den kan deriveres?
[tex]y^\prime(0)=\frac{1}{2}^\prime[/tex]
[tex]y^\prime(0)=0[/tex]
tenker jeg i riktig retning nå? hvis ikke, kan du gi eksempel på antall k den kan deriveres?
Si at vi definerer $y(0)=\frac12$.
Den høyrederiverte i punktet x=0 er definert som $\lim_{h\to 0^+}\frac{y(h)-y(0)}{h}$, mens det venstrederiverte er $\lim_{h\to 0^-}\frac{y(0)-y(h)}{-h}$. klarer du å vise at disse er like er y(x) deriverbar i x=0. Dersom den opprinnelige diff.ligningen er av første orden, er det nok å vise at y(x) kan utvides til en deriverbar funksjon på hele $\mathbb{R}$. Dersom dette hadde vært en løsning av en andreordens diff.ligning ville man måttet vise at den andrederiverte også hadde eksistert i x=0.
Den høyrederiverte i punktet x=0 er definert som $\lim_{h\to 0^+}\frac{y(h)-y(0)}{h}$, mens det venstrederiverte er $\lim_{h\to 0^-}\frac{y(0)-y(h)}{-h}$. klarer du å vise at disse er like er y(x) deriverbar i x=0. Dersom den opprinnelige diff.ligningen er av første orden, er det nok å vise at y(x) kan utvides til en deriverbar funksjon på hele $\mathbb{R}$. Dersom dette hadde vært en løsning av en andreordens diff.ligning ville man måttet vise at den andrederiverte også hadde eksistert i x=0.