Hvorfor er ikke disse underrom?

[Jerry]

Oppgaven går ut på å finne ut om vektorene er underrom i R[sup]3[/sup].
Sjekker da u+v og k*u
Disse to stusser jeg over:

1) (a, a + c + 1, c) + (a, a + c + 1, c) = (2a, 2a + 2c +2, 2c)
k*(a, a + c + 1, c) = (ka, ka + kc + k, kc)

2 (a,b,0) + (a, b, 0) = (2a, 2b, 0)
k*(a, b, 0) = (ka, kb, 0)

Fasiten sier at disse to ikke er underrom i R[sup]3[/sup], hvorfor ikke?

[Solar Plexsus]

I den første oppgaven er W mengden av punkter (x,y,z)=(a,a+c+1,c) i R[sup]3[/sup], dvs. at -x + y - z = 1. Punktet (0,1,0) ligger i W. Nå er

(0,1,0) + (0,1,0) = (0,2,0) = (x,y,z) der -x + y - z = 2<>1.

M.a.o. er ikke W lukket under addisjon. Følgelig er W ikke et underrom av R[sup]3[/sup].


I oppgave 2 er W alle punkter i R[sup]3[/sup] på formen (x,y,0). Dette er et underrom av R[sup]3[/sup]. (De eneste underrom av R[sup]3[/sup] er (0,0,0), R[sup]3[/sup] samt linjer og plan som går gjennom origo.)

PS. Du har valgt u=v i vektorsummen u + v. Pass på at u og v er to vilkårlige vektorer i den aktuelle mengden.

[ingentingg]

3 krav til subspace:

a: 0 vektor er med i R^3

b: H er lukket under addisjon.

c: h er lukket under multiplikasjon.

Oppg 1:
0 vektor er ikke med, dermed er det ikke et underrom.

Oppg 2:
(a,b,0) er et plan gjennom origo viss a og b er vilkårlige konstanter. I så tilfelle er det et underrom

Står det noko meir i oppgaven?

[Jerry]

2)2) All vectors on the form (a, b, 0).
Fasiten sier at det ikke er underrom.

[Solar Plexsus]

I så fall svaret i fasiten feil! I dette tilfellet utgjør den aktuelle mengden xy-planet. Og dette planet er definitivt lukket under addisjon og skalarmultiplikasjon.

[Jerry]

OK, skjønner.

Men det var dette at jeg hadde valgt u=v. Blir dette bedre for den oppgaven:

u+v = (a, a+c+1, c) + (a', a'+c'+1, c') = (a+a'. a+a' + c+c' +2, c+c') ?
Er det +2 som gjør at dette ikke er lukket?

[Solar Plexsus]

Svaret er "ja" på begge spørsmål!

[Jerry]

Flott!