Differensiallikning

[alexleta]

Har en så enkel differensiallikning som: [tex]N'=0,001N(500-N)[/tex]
men klarer virkelig ikke å løse den. Ender opp med ln i flere ledd, og alt blir bare tull

Kan noen hjelpe meg?

Takker på forhånd!

FASIT: [tex]N=\frac{500}{Ce^{-0,5t}+1}[/tex]

[Brahmagupta]

Kan gi noen tips først, tok også med en fullstendig løsning hvis du vil se på den!
Det virker som du har gjenkjent den som separabel og delbrøksoppspaltet venstre side. Når du får ln i flere ledd er det lurt å
bruke noen logaritmeregler før du opphøyer begge sider.
Husk at [tex]\ln (A)-\ln (B)=ln\frac{A}{B}[/tex] og eventuelt [tex]\ln (A)+ \ln(B)=\ln (AB)[/tex].
Hvis du etter dette opphøyer begge sidene får du en ligning du må løse for N.

Hvis du ønsker detaljer rundt dette kan du se på løsningen under.




Ligningen er separabel, så den kan omskrives:

[tex]\int \frac1{N(500-N)} \mathrm{d}N=\int 0.001\mathrm{d}t[/tex]

Ved delbrøksoppspalting av venstre side får vi

[tex]\frac1{500}\int \frac1{N}+\frac1{500-N}\mathrm{d}N=0.001t+C[/tex]

[tex]\int \frac1{N}\mathrm{d}N+\int \frac1{500-N}\mathrm{d}N=0.5t+D[/tex]

[tex]\ln{N}-\ln{(500-N)}=\ln{\frac{N}{500-N}}=0.5t+D[/tex]

[tex]\frac{N}{500-N}=Ee^{0.5t}[/tex]

Så må denne ligningen løses for N

[tex]N=(500-N)Ee^{0.5t}\Rightarrow N+NEe^{0.5t}=500Ee^{0.5t}[/tex]

[tex]N(1+Ee^{0.5t})=500Ee^{0.5t}\Rightarrow N=\frac{500Ee^{0.5t}}{1+Ee^{0.5t}}[/tex]

Hvis vi så deler med [tex]Ee^{0.5t}[/tex] oppe og nede i brøken kommer vi frem til fasitsvaret

[tex]N=\frac{500}{1+Ee^{-0.5t}}[/tex]

Her har jeg gitt konstanten nytt navn hver gang den forandres. Bare å si ifra hvis noe er uklart!

[Guest]

Kan gi noen tips først, tok også med en fullstendig løsning hvis du vil se på den!
Det virker som du har gjenkjent den som separabel og delbrøksoppspaltet venstre side. Når du får ln i flere ledd er det lurt å
bruke noen logaritmeregler før du opphøyer begge sider.
Husk at [tex]\ln (A)-\ln (B)=ln\frac{A}{B}[/tex] og eventuelt [tex]\ln (A)+ \ln(B)=\ln (AB)[/tex].
Hvis du etter dette opphøyer begge sidene får du en ligning du må løse for N.

Hvis du ønsker detaljer rundt dette kan du se på løsningen under.




Ligningen er separabel, så den kan omskrives:

[tex]\int \frac1{N(500-N)} \mathrm{d}N=\int 0.001\mathrm{d}t[/tex]

Ved delbrøksoppspalting av venstre side får vi

[tex]\frac1{500}\int \frac1{N}+\frac1{500-N}\mathrm{d}N=0.001t+C[/tex]

[tex]\int \frac1{N}\mathrm{d}N+\int \frac1{500-N}\mathrm{d}N=0.5t+D[/tex]

[tex]\ln{N}-\ln{(500-N)}=\ln{\frac{N}{500-N}}=0.5t+D[/tex]

[tex]\frac{N}{500-N}=Ee^{0.5t}[/tex]

Så må denne ligningen løses for N

[tex]N=(500-N)Ee^{0.5t}\Rightarrow N+NEe^{0.5t}=500Ee^{0.5t}[/tex]

[tex]N(1+Ee^{0.5t})=500Ee^{0.5t}\Rightarrow N=\frac{500Ee^{0.5t}}{1+Ee^{0.5t}}[/tex]

Hvis vi så deler med [tex]Ee^{0.5t}[/tex] oppe og nede i brøken kommer vi frem til fasitsvaret

[tex]N=\frac{500}{1+Ee^{-0.5t}}[/tex]

Her har jeg gitt konstanten nytt navn hver gang den forandres. Bare å si ifra hvis noe er uklart!

Hvorfor har du ikke med absoluttverditegn?

[Brahmagupta]

Rent matematisk burde jeg absolutt hatt med det!

Men samtidig så er dette en typisk oppgave for logistisk vekst. N er antall individer i en populasjon hvor veksten
er proporsjonal med populasjonens størrelse og avstanden til den maksimale kapasiteten. I et slikt tilfelle vil det være gitt
at [tex]N\in (0,500)[/tex], som medfører positive verdier innenfor logaritmene i utregningen.

[Guest]

Rent matematisk burde jeg absolutt hatt med det!

Men samtidig så er dette en typisk oppgave for logistisk vekst. N er antall individer i en populasjon hvor veksten
er proporsjonal med populasjonens størrelse og avstanden til den maksimale kapasiteten. I et slikt tilfelle vil det være gitt
at [tex]N\in (0,500)[/tex], som medfører positive verdier innenfor logaritmene i utregningen.

Å ja, jeg skjønner Oppgaven var bare å løse likningen, så jeg ble litt forvirra. La oss si at det bare er en likning som ikke er spesifikt gitt for noe, da måtte man tatt med absoluttverdi?

[Brahmagupta]

Ja, det er riktig.

[Guest]

Ja, det er riktig.

Hehe, er det mulig å vise hvordan man hadde løst den da? Det var da jeg satt fast

[Brahmagupta]

Vi kommer på samme metode frem til ligningen:

[tex]|{\frac{N}{500-N}}|=Ce^{0.5t}[/tex]

Vi ser først at siden venstresiden alltid er større eller lik 0 og eksponentialfunksjonen alltid er positiv, må konstanten C være positiv.
Merk først at [tex]|x|=max\{x,-x\}[/tex]. For [tex]N\in (0,500)[/tex] så vil vi få løsningen allerede presentert.
For [tex]N\in (-\infty,0)\cup (500,\infty)[/tex] så vil [tex]{\frac{N}{500-N}}[/tex] være negativ så [tex]|{\frac{N}{500-N}}|=-{\frac{N}{500-N}}[/tex].

Derfor må vi løse ligningen [tex]-{\frac{N}{500-N}}=Ce^{0.5t}[/tex].

Som gir løsningen [tex]N=\frac{500}{1-Ce^{0.5t}}[/tex]

Ser vi litt tilbake på det så er det greit å se at siden vi har en fri konstant, C, på høyre siden, så har det ikke noe å si om absoluttverdien medfører at
vi må ha med et ekstra minustegn, siden det uansett kan legges inn i konstanten. Så den opprinnelige løsningen fanger opp denne løsningen og hvis vi
ikke restrikterer C til å være positiv.