Eksponentiallikninger

[Gjesten95]

Løs likningene:
a)
$${{{3^{2x}} - 6 \cdot {3^x}} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} = 0$$

$$\eqalign{
& {{{3^{2x}} - 6 \cdot {3^x}} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} = 0 \cr
& {({3^x})^2} - 6 \cdot {3^x} = 0 \cr
& {3^x}({3^x} - 6) = 0 \cr
& {{\rm{3}}^x}{\rm{ Blir aldri 0}}{\rm{, eneste muligheten er at }}{{\rm{3}}^x} - 6 = 0{\rm{ det gir }}{{\rm{3}}^x} = 6 \cr
& {3^x} = 6 \cr
& \lg {3^x} = \lg 6 \cr
& {{x \cdot \lg 3} \over {\lg 3}} = {{\lg 6} \over {\lg 3}} \cr
& x = {{\lg 6} \over {\lg 3}} \cr} $$

b)
$${{{3^{2x}} - 6 \cdot {3^x}} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} = - 1$$
Hvordan løser jeg denne når svaret ikke blir 0? Setter stor pris på all hjelp!


Fasitsvar:
a)
$$x = {{\lg 6} \over {\lg 3}}$$
b)
$$x = 0{\rm{ eller }}x = 1$$

[Brahmagupta]

Flytt alt over på venstre side og finn fellesnevner, da kan du benytte samme metode som i oppgave a).

[Gjesten95]

$$\eqalign{
& {{{3^{2x}} - 6 \cdot {3^x}} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} = - 1 \cr
& {{{3^{2x}} - 6 \cdot {3^x}} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} + 1 = 0 \cr
& {{{3^{2x}} - 6 \cdot {3^x}} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} + {{1(2 \cdot {3^x} + 3)} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} = 0 \cr
& {{{3^{2x}} - 6 \cdot {3^x} + 2 \cdot {3^x} + 3} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} = 0 \cr} $$

Slik?, Hva gjør jeg nå?

[Aleks855]

$$\eqalign{
& {{{3^{2x}} - 6 \cdot {3^x}} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} = - 1 \cr
& {{{3^{2x}} - 6 \cdot {3^x}} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} + 1 = 0 \cr
& {{{3^{2x}} - 6 \cdot {3^x}} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} + {{1(2 \cdot {3^x} + 3)} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} = 0 \cr
& {{{3^{2x}} - 6 \cdot {3^x} + 2 \cdot {3^x} + 3} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} = 0 \cr} $$

Slik?, Hva gjør jeg nå?

En brøk er lik 0, når telleren er lik 0, så du trenger bare å løse teller = 0.

Men husk, sett prøve på svaret, og pass på at svaret ikke gjør nevner = 0. Da har du fått en falsk løsning.

[Gjesten95]

$$\eqalign{
& {{{3^{2x}} - 6 \cdot {3^x}} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} = - 1 \cr
& {{{3^{2x}} - 6 \cdot {3^x}} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} + 1 = 0 \cr
& {{{3^{2x}} - 6 \cdot {3^x}} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} + {{1(2 \cdot {3^x} + 3)} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} = 0 \cr
& {{{3^{2x}} - 6 \cdot {3^x} + 2 \cdot {3^x} + 3} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} = 0 \cr
& {{{{({3^x})}^2} - 4 \cdot {3^x} + 3} \over {2 \cdot {3^x} + 3}} = 0 \cr} $$

løser andregradslikningen på topp og får:
$${3^{{x_1}}} = 1$$ eller $${3^{{x_2}}} = 3$$

$$\eqalign{
& {3^{{x_1}}} = 1 \cr
& \lg {3^{{x_1}}} = \lg 1 \cr
& {{{x_1} \cdot \lg 3} \over {\lg 3}} = {{\lg 1} \over {\lg 3}} \cr
& {x_1} = 0 \cr} $$

$$\eqalign{
& {3^{{x_2}}} = 3 \cr
& \lg {3^{{x_2}}} = \lg 3 \cr
& {{{x_2} \cdot \lg 3} \over {\lg 3}} = {{\lg 3} \over {\lg 3}} \cr
& {x_2} = 1 \cr} $$

x=0 eller x=1


Har jeg løst denne oppgaven riktig nå?

[Aleks855]

Jepp, ser bra ut det