Hei, jeg holder på med en oppgave og er litt usikker på om svaret mitt er riktig. (Det er ikke noe fasit på den oppgaven fordi det er en partalls-oppgave) Det er fra boka Elementary Differential Equations fra Kohler § Johnson.
Slik lyder oppgaven.
A 20-kg mass was initially at rest, attached to the end of a vertically hanging spring. When given an initial downwards velocity 2 m/s from it's equilibrium rest position, the mass observed to attain a maximum displacement of 0.2 m from its equilibrium position. What is the value of the spring constant?
Jeg tenkte slik:
Etter at massen har blitt påført krafter som gir den en haastighet på 2 m/s vil den strekke ut fjæren. Etter tiden t, vil massen stå still og da vil, akuratt i det tidspunktet, G = F.
G = mg og F = ky
mg = ky => k = 981 N/m
Det virker veldig stort, men på en annen side, så er det en 20-kilograms masse. Og det trengs en ganske sterk fjær for å holde den i ro og kun strekke seg 20 cm.
Er dette rikitg, eller bommer vi totalt?
Diff. Ligning. Finn fjærkonstant.
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
trur dere må sette opp DE som helhet, nå har jeg dårlig tid (skal rekke et fly).
der den 2. ordens DE blir (mener jeg):
[tex]\large y"\,+\,ky=0[/tex]
samt initialbetingelser
denne får løsning ala:
[tex]y=A\sin(a*t)\,+\,B\cos(b*t)[/tex]
finn når max utslag er;
[tex]y '(0)=0,2[/tex]
jeg kladde raskt [tex]k=2000\,(N/m)[/tex]
noen andre får se på dette, kanskje plutarco...
der den 2. ordens DE blir (mener jeg):
[tex]\large y"\,+\,ky=0[/tex]
samt initialbetingelser
denne får løsning ala:
[tex]y=A\sin(a*t)\,+\,B\cos(b*t)[/tex]
finn når max utslag er;
[tex]y '(0)=0,2[/tex]
jeg kladde raskt [tex]k=2000\,(N/m)[/tex]
noen andre får se på dette, kanskje plutarco...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Kraften på massen skyldes to ting: tyngden samt fjærkraften. La y være utslaget fra likevektspunktet til fjæra. Da blirZahand wrote:
A 20-kg mass was initially at rest, attached to the end of a vertically hanging spring. When given an initial downwards velocity 2 m/s from is equilibrium rest position, the mass observed to attain a maximum displacement of 0.2 m from its equilibrium position. What is the value of the spring constant?
$my''=-ky+mg$,
med løsning
$y(t)=c_1\sin{\sqrt{\frac{k}{m}} t}+c_2\cos {\sqrt{\frac{k}{m}} t}+\frac{mg}{k}$.
Det er oppgitt at y(0)=0, y'(0)=2, samt at maksimalt utslag er 0.2.
y(0)=0 gir at $0=c_2+\frac{mg}{k}$, så $c_2=-\frac{mg}{k}$
y'(0)=2 gir at $\sqrt{\frac{k}{m}}c_1=2$, så $c_1=2\sqrt{\frac{m}{k}}$.
Løsningen blir altså
$y(t)=2\sqrt{\frac{m}{k}}\sin{\sqrt{\frac{k}{m}} t}-\frac{mg}{k}\cos {\sqrt{\frac{k}{m}} t}+\frac{mg}{k}$.
Herfra er det enkelt å finne k utfra kravet om at maksimalt utslag er 0.2.
(dersom gravitasjon ikke er tilstede kan man sette g=0 og man får et noe enklere uttrykk)
Problemet er at $F\neq G$ ved maksimalt utslag. Likheten gjelder kun i likevektspunktet.Zahand wrote: Jeg tenkte slik:
Etter at massen har blitt påført krafter som gir den en haastighet på 2 m/s vil den strekke ut fjæren. Etter tiden t, vil massen stå still og da vil, akuratt i det tidspunktet, G = F.
G = mg og F = ky
mg = ky => k = 981 N/m
Det virker veldig stort, men på en annen side, så er det en 20-kilograms masse. Og det trengs en ganske sterk fjær for å holde den i ro og kun strekke seg 20 cm.
Er dette rikitg, eller bommer vi totalt?
Det hele er nøye beskrevet her http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_dif ... efficients
Takk skal du ha. Nå er det kun en ting jeg lurer på.
Janhaa skrev jo at y''+ky = 0, men som du sa skyldes kraften på massen to ting; tyngen og fjærkraften. Så langt så godt.
Men det som jeg ikke helt skjønner er dette.
I boka er det en liten del-kapittel kalt "Behaviour of the Model" der de forklarer overdempte, kritisk dempete og underdempete modeller.
Der går de ut ifra:
[tex]my''+\gamma y'+ky = 0[/tex]
De skriver den karkateristiske ligningen og viser at den har røttene:
[tex]\lambda_{1,2} = \frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma^{2}-4mk}}{2m}[/tex]
Og dersom gamma^2 < 4km vil den ha røtter som er komplekse konjugater.
[tex]\frac{-\gamma}{2m} \pm i\frac{\sqrt{4mk-\gamma^{2}}}{2m} = \alpha \pm i\beta[/tex]
Siden vi ikke har noen demper vil alpha = 0 og gamma = 0 og vil ha løsningen.
[tex]y(t)=c_{1} \cos \beta t+c_{2} \sin \beta t[/tex]
Da er det bare å sette inn mine verdier, men hvor kommer tyngen inn? Vi er jo enige at kraften på massen skylde to ting; tyngen og fjærkonstanten.
Hvordan skal jeg gå frem når
[tex]my''+\gamma y'+ky \neq 0[/tex]
Jeg ser at du la til mg/k, hvordan kom du frem til det?
Takk på forhånd.
Janhaa skrev jo at y''+ky = 0, men som du sa skyldes kraften på massen to ting; tyngen og fjærkraften. Så langt så godt.
Men det som jeg ikke helt skjønner er dette.
I boka er det en liten del-kapittel kalt "Behaviour of the Model" der de forklarer overdempte, kritisk dempete og underdempete modeller.
Der går de ut ifra:
[tex]my''+\gamma y'+ky = 0[/tex]
De skriver den karkateristiske ligningen og viser at den har røttene:
[tex]\lambda_{1,2} = \frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma^{2}-4mk}}{2m}[/tex]
Og dersom gamma^2 < 4km vil den ha røtter som er komplekse konjugater.
[tex]\frac{-\gamma}{2m} \pm i\frac{\sqrt{4mk-\gamma^{2}}}{2m} = \alpha \pm i\beta[/tex]
Siden vi ikke har noen demper vil alpha = 0 og gamma = 0 og vil ha løsningen.
[tex]y(t)=c_{1} \cos \beta t+c_{2} \sin \beta t[/tex]
Da er det bare å sette inn mine verdier, men hvor kommer tyngen inn? Vi er jo enige at kraften på massen skylde to ting; tyngen og fjærkonstanten.
Hvordan skal jeg gå frem når
[tex]my''+\gamma y'+ky \neq 0[/tex]
Jeg ser at du la til mg/k, hvordan kom du frem til det?
Takk på forhånd.