Uendelig geometrisk rekke

[1krpant]

Står helt fast på denne oppgaven og håper noen kan hjelpe meg i gang.


Tenker at jeg først skal finne K, men vet ikke helt hvordan.

Deretter løse ulikheten -1<K<1

[ettam]

Gir deg svaret, så kan du tenke på hvorfor det blir slik:

[tex]k = -(x+5)[/tex]

[Zahand]

Vel, du vet vel at en geometrisk serie kan ble skrevet slik:

[tex]a(\cdot k^{0})+a\cdot k^{1}+a \cdot k^{2}+...[/tex]


Det er din oppgave å finne konstant-leddet. Hvordan hadde du gjort det?

[1krpant]

Etter å ha frisket litt opp fant jeg ut hvordan å finne kvotienten.

an = a1*k^n-1

K= x+5

-1<x+5<1

Satt opp fortegnslinje med x=-4 og x=-6

Fikk at den kovergerer i intervallet <-4,-6>

Har jeg forstått det rett?

[Zahand]

Edit: Beklager leste feil.Det du skrev er riktig. Jeg kunne vel slette alt, men nå som det alt er skrevet, kan jeg vel like så godt la det være


Som du skrev selv kan en geometrisk serie bli skrevet på denne måten.

[tex]a_{n}=a_{0}\cdot k^{n-1}[/tex]

Det betyr at for hver neste ledd, blir forrige ledd ganget med en konstant verdi som jeg kaller k.

Siden denne verdien er konstant er den det samme som kvotienten til to ledd som kommer etterhverandre:

[tex]k = \frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/tex]

Altså, konstantleddet k, kan i dette tilfellet bli skrevet slik:

[tex]k = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{(x+5)^{2}}{-(x-5)} = -(x+5)[/tex]

For at en geometrisk rekke skal konvergere, må konstantleddet k, være større enn -1, men mindre enn 1. Altså

[tex]-1 < k < 1 = -1 < -(x+5) < 1[/tex]

Som du skrev må x være mindre enn -4, men større enn -6.

a) Konvergeringsintervallet er [tex]<-6,-4>[/tex]

Summen for en uendelig geometrisk rekke er

[tex]S = \frac{a_{0}}{1-k}[/tex]

Dersom vi setter inn dine verdier får vi

[tex]S = \frac{1}{1-(-(x+5))} = \frac{1}{x+6}[/tex]

b) Den uendelige rekka konverger mot[tex]\frac{1}{x+6}[/tex] når x er et element i K