Finn det ubestemte integralet :
[itgl][/itgl](arctan(x)/x[sup]2[/sup] dx
Jeg prøvde z=x[sup]2[/sup]
og z=arctan(x) uten hell.
Det er nok et spørsmål om teknikk.
Integrasjon (Hvilken substitusjon?)
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
Bruk delvis integrasjon, dvs. bruk regelen
(1) [itgl][/itgl]uv' = uv - [itgl][/itgl]u'v
med u=tan[sup]-1[/sup]x og v'=1/x[sup]2[/sup] som medfører at u'=1/(1 + x[sup]2[/sup]) og v=-1/x. Innsatt i (1) gir dette at
[itgl][/itgl] tan[sup]-1[/sup]x / x[sup]2[/sup] dx
= - tan[sup]-1[/sup]x / x + [itgl][/itgl] dx / [x(1 + x[sup]2[/sup])] (bruker delbrøksoppspaltning)
= - tan[sup]-1[/sup]x / x + [itgl][/itgl] [(1/x) - x/(1 + x[sup]2[/sup])] dx ([itgl][/itgl] [x/(1+x[sup]2[/sup])]dx løses vha. av substitusjonen u=1+x[sup]2[/sup])
= - (tan[sup]-1[/sup]x / x) + ln│x│- ln(1 + x[sup]2[/sup])/2 + C
der C er en vilkårlig konstant.
(1) [itgl][/itgl]uv' = uv - [itgl][/itgl]u'v
med u=tan[sup]-1[/sup]x og v'=1/x[sup]2[/sup] som medfører at u'=1/(1 + x[sup]2[/sup]) og v=-1/x. Innsatt i (1) gir dette at
[itgl][/itgl] tan[sup]-1[/sup]x / x[sup]2[/sup] dx
= - tan[sup]-1[/sup]x / x + [itgl][/itgl] dx / [x(1 + x[sup]2[/sup])] (bruker delbrøksoppspaltning)
= - tan[sup]-1[/sup]x / x + [itgl][/itgl] [(1/x) - x/(1 + x[sup]2[/sup])] dx ([itgl][/itgl] [x/(1+x[sup]2[/sup])]dx løses vha. av substitusjonen u=1+x[sup]2[/sup])
= - (tan[sup]-1[/sup]x / x) + ln│x│- ln(1 + x[sup]2[/sup])/2 + C
der C er en vilkårlig konstant.