Overslag av sylindervolum

[Aleks855]

Oppgaven lyder;

Et sylinderformet sementrør er 2m langt og har indre radius 0.5m. Tykkelsen av sementen er 0.05m. Bruk teknikken i eksempel 6.1.8 til å anslå volumet av sementen.

Teknikken det gjelder baseres på følgende setning:



Eksemplet som nevnes er dette:



Jeg er ikke helt sikkert på hvordan jeg skal gå frem her. Hvilken variabel er det jeg skal bruke?

Jeg har prøvd å bruke ytre radius $r_y$ som variabel. Forsøket kom så langt som å se at $V(r_y) = \pi (r_y^2-r_i^2)l$ der $r_i$ er indre radius, og $l$ er lengda av sylinderet.

Dersom $r_y$ får et lite tillegg $h$ så fås $V(r_y+h)-V(r_y)$ som ved setning 6.1.7 kan skrives som $V(r_y) + V'(r_y)h + \eta(h)h$. Siste ledd vil gå mot null, men jeg roter meg likevel helt bort.

Noen som skjønner poenget her?

[Gustav]

Det setningen sier er at

$V(y_{ytre})-V(y_{indre})\approx hV'(y_{indre})$ er en første ordens approksimasjon.

Poenget er at det generelt er lettere å beregne høyresida enn venstre.

Den vesentlige observasjonen i eksempelet er at den eksakte differansen samsvarer med approksimasjonen i setningen opp til første orden i h, dvs. når vi ignorerer alle ledd med h opphøyd i potenser større enn 1.

[Janhaa]

blir det ikke:

[tex]V=\pi r^2l[/tex]

Metode 1:

[tex]V(r+d)-V(r)=2\pi r d l + \pi d^2 l \approx 0,33[/tex]

der d er dybden
====
====

Metode 2

[tex]V ' (r)\cdot d = 2\pi r l d = 0,1\pi[/tex]

[Aleks855]

Metode 2

[tex]V ' (r)\cdot d = 2\pi r l d = 0,1\pi[/tex]

Kan du utdype litt her? Er $r$ indre radius? Og er $d$ tykkelsen på sementen? Og var $V(r) = \pi r^2l$? For i så fall er vel det volumet av hele sylinderet, og ikke bare av sementen? Men ser du får riktig svar...

Jeg roter meg helt bort ved å prøve å finne en V(r) med r som indre radius.

Her er mitt seneste forsøk: http://i.imgur.com/SZQ70bO.png

Ser jeg mangler en faktor på $0.5m$ som tilfeldigvis tilsvarer radien, så har jeg slurva?

[Gustav]

Metode 2

[tex]V ' (r)\cdot d = 2\pi r l d = 0,1\pi[/tex]

Kan du utdype litt her? Er $r$ indre radius? Og er $d$ tykkelsen på sementen? Og var $V(r) = \pi r^2l$? For i så fall er vel det volumet av hele sylinderet, og ikke bare av sementen? Men ser du får riktig svar...

$V(r)=\pi r^2 l$ er volumet av en sylinder med lengde $l$ og radius $r$. Sementen består av et område avgrenset av to sylindere med radier $r_{i}$ (indre radius) og $r_{y}$ (ytre radius). Vi har sammenhengen $r_y=r_i+d$ der $d$ er tykkelsen på sementen. Da er volumet av sementen $V(r_y)-V(r_i)=V(r_i+d)-V(r_i)$.

Setning 6.1.7 sier nå at $V(r_i+d)=V(r_i)+V'(r_i)d+\eta(d)d$

For små verdier av $d$ vil det siste leddet over bli forsvinnende lite, så det kan ignoreres i en approksimasjon.


(EDIT:

Merk at vi like gjerne kunne sagt at $V(r_y)-V(r_i)=V(r_y)-V(r_y-d)$. Setning 6.1.7 sier nå at $V(r_y-d)\approx V(r_y)-V'(r_y)d$.

Begge metodene er akkurat like riktige, men gir litt forskjellige svar på differansen $V(r_y)-V(r_i)$ ved at den deriverte av V er evaluert i to forskjellige punkter:

Fra den første beregningen er $V(r_y)\approx V(r_i)+V'(r_i)d$, mens fra den andre er $V(r_y)\approx V(r_i)+V'(r_y)d$. Tar vi gjennomsnittet av disse får vi en bedre tilnærming, ie. $V(r_y)\approx V(r_i)+\frac{V'(r_i)+V'(r_y)}{2}d$. Disse tre typene approksimasjoner finner man igjen i forward/backward Euler- og Crank-Nicholson-metodene fra numerisk analyse.

[Aleks855]

Metode 2

[tex]V ' (r)\cdot d = 2\pi r l d = 0,1\pi[/tex]

Kan du utdype litt her? Er $r$ indre radius? Og er $d$ tykkelsen på sementen? Og var $V(r) = \pi r^2l$? For i så fall er vel det volumet av hele sylinderet, og ikke bare av sementen? Men ser du får riktig svar...

$V(r)=\pi r^2 l$ er volumet av en sylinder med lengde $l$ og radius $r$. Sementen består av et område avgrenset av to sylindere med radier $r_{i}$ (indre radius) og $r_{y}$ (ytre radius). Vi har sammenhengen $r_y=r_i+d$ der $d$ er tykkelsen på sementen. Da er volumet av sementen $V(r_y)-V(r_i)=V(r_i+d)-V(r_i)$.

Setning 6.1.7 sier nå at $V(r_i+d)=V(r_i)+V'(r_i)d+\eta(d)d$

For små verdier av $d$ vil det siste leddet over bli forsvinnende lite, så det kan ignoreres i en approksimasjon.

Nå tror jeg det gikk på plass. Nytt forsøk:

$V = V(r_y) - V(r_i)$

Bruker at $r_y = r_i + t$ (starta med å bruke t tidlig, så fortsetter bare med det for å unngå kluss i egne notater senere).

Dette gir $V = V(r_i + t) - V(r_i) = V(r_i) + V'(r_i)t + \eta(t)t - V(r_i) = V'(r_i)t + \eta(t)t \to V'(r_i)t$

Trenger nå å finne $V(r_i) = \pi r_i^2l$ som gir $V'(r_i) = 2\pi lr_i$ og $V'(r_i)t = 2 \pi l r_i t = 2\pi \cdot 2m \cdot 0.5m \cdot 0.05m = 0.1\pi m^3$

Jeg hadde en latterlig dårlig tankegang, om at $V(r_i)$ skulle i seg selv være volumet av sementen, så jeg kom hele tida frem til at $V(r_i) = \pi l(r_y^2 - r_i^2) = \pi l((r_i+t)^2-r_i^2)$ som selvfølgelig ga feil svar. Ser nå også hvordan Janhaa førte sin metode 2.

Ser utregninga grei ut nå?

[Gustav]

Ja, det er riktig nå. Det var nok den misforståelsen med sylindervolum du pekte på som lagde alt rotet, ja.

[Aleks855]

Supert. Takk for hjelpa, begge to