Notasjon, funksjoner

[Aleks855]

Jeg blir i boka bedt om å vise at $(f+g{)}^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)+g^{\prime }(a)$. Jeg trodde notasjonen på venstre side direkte betydde det som står på høyre side. Altså at det er bare to måter å skrive akkurat det samme på. Nå blir jeg jo bedt om å vise at de har samme verdi, så de er jo ekvivalente, men håper dere ser hva jeg mener her. Hva betyr egentlig notasjonen $(f+g)(x)$?

Jeg er kjent med at $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ men har ikke vært borti bruk av de fire grunnleggende regneoperasjonene i stedet for sirkelen.

[Nebuchadnezzar]

Tja, det de egentlig spør om er å vise at $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$. Altså
at derivasjon er distributivt. Er rett frem ved å bruke definisjonen
av den deriverte.

$\frac{d}{dx}(f+g)(x)=\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))$

Kanskje den viktigste egenskapen til derivasjon er jo at den
er en lineær operator på funksjoner. Eg $D(a\cdot f+b\cdot g)=aD(f)+bD(g)$.

[Aleks855]

Så jeg kan bare bruke at $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$? Det skal jo gå helt greit for seg.

Problemet jeg sto med var at jeg tolket oppgaven som liknende til det å bevise at $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$. Det ville vært som å be meg om å bevise at $f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}f(x)$.

[Nebuchadnezzar]

Jada, bare å bruke det. Er bare en alternativt skrivemåte som ofte er praktisk.
Benyttes ofte når en har mer enn to funksjoner. $(u+v+w)(x)$ eksempelvis.
Eller ved integrasjon $({\int }_0^{\pi /2}+{\int }_{\pi /2}^{\pi })f(x)\mathrm{d}x$

[Aleks855]

En annen oppgave er å vise at $(cf{)}^{\prime }(a)=c\cdot f^{\prime }(a)$ men er ikke dette bare to måter å notere det samme på? Kan venstre side skrives på en annen måte?

EDIT: Ok, mulig jeg skjønte poenget. Ble det riktig? Bruker at $(cf)(x)=cf(x)$ men antar bare første likhet. Stemmer den?

[Nebuchadnezzar]

Anta du har en eller annen funksjon $f$. Så definerer vi en ny funkjson
$h=a\cdot f$, hvor $a$ er en konstant. Da vil $h^{\prime }=(af{)}^{\prime }$. Også er jobben
din å vise at $(af{)}^{\prime }=a{f}^{\prime }$ når $a$ er en konstant.

Husk at derivasjon er en operator som virker på hele funksjonen din. Ved å
vise at $(af{)}^{\prime }(x)=a{f}^{\prime }(x)$ og at $(f+g)(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$ viser du at d/dx er lineær.

EDIT: Ser helt rett ut det. Noe mer utfordrende er å vise produktregelen for derivasjon
eg $(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }$. Eller den deriverte av $x^n$ :p

[Aleks855]

Takk for hjelpa! Nå når jeg skjønner notasjonen, så ser jeg at jeg allerede har bevist dem.

Produktregelen: http://udl.no/matematikk/kalkulus/deriv ... bevis-1012

Brøkregelen: http://udl.no/matematikk/kalkulus/deriv ... bevis-1015

Den med $x^n$ har jeg ikke laga video på, men jeg kan å bevise den ved å bruke binomialteoremet.