I en oppgave blir jeg bedt om å finne alle komplekse røtter til:
[tex]z^{10}+2z^{5}+2[/tex]
Jeg definerer [tex]x=z^{5}[/tex], og drar det gjennom en andregangsligning som gir:
[tex]x^5=\sqrt{1+i}[/tex] eller [tex]x^5=\sqrt{1-i}[/tex]
Hvordan finner jeg de 8 gjenværende røttene?
Komplekse tiendegradsrøtter
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Brahmagupta
- Guru
- Posts: 628
- Joined: 06/08-2011 01:56
Du har gjort en fortegnsfeil i løsningen av andregradsligningen, men fremgangsmåten er helt riktig.
Merk at du ikke faktisk har funnet 2 løsninger ennå, du har kun funnet 2 mulige verdier for $z^5$.
Etter å ha løst andregradsligningen ender man opp med $x=-1\pm i$
Substituerer du tilbake for x får du to ligninger, hvor hver av dem gir deg 5 løsninger.
$z^5=-1+i$ og $z^5=-1-i$
For eksempel gir den første ligningen
$\Large z=(-1+i)^{\frac15}=(2^{\frac12}e^{(\frac{3\pi}4+2\pi k)})^{\frac15}=2^{\frac1{10}}e^{(\frac{3\pi}{20}+\frac{2\pi k}5)}$
Hvor du får de fem løsningene ved å sette $k=0,1,2,3,4$.
Den samme fremgangsmåten fungerer på den andre ligningen og du får da de fem andre løsningene.
Merk at du ikke faktisk har funnet 2 løsninger ennå, du har kun funnet 2 mulige verdier for $z^5$.
Etter å ha løst andregradsligningen ender man opp med $x=-1\pm i$
Substituerer du tilbake for x får du to ligninger, hvor hver av dem gir deg 5 løsninger.
$z^5=-1+i$ og $z^5=-1-i$
For eksempel gir den første ligningen
$\Large z=(-1+i)^{\frac15}=(2^{\frac12}e^{(\frac{3\pi}4+2\pi k)})^{\frac15}=2^{\frac1{10}}e^{(\frac{3\pi}{20}+\frac{2\pi k}5)}$
Hvor du får de fem løsningene ved å sette $k=0,1,2,3,4$.
Den samme fremgangsmåten fungerer på den andre ligningen og du får da de fem andre løsningene.