Likning - tekstoppgave

[cantora]

Esma, Erik, Enis og Emma er født med ett års mellomrom i denne rekkefølgen. Produktet av alderen deres er 1680. Hvor gamle er de?

Hvordan sette denne opp som likning?

[Nebuchadnezzar]

Dersom vi sier at Esma ble født i år [tex]x[/tex], når ble Eirik født?

x(x+1)...

=)

Eventuelt så kan du tenke på det som at du ønsker 4 påfølgende heltall, hvor produktet blir 1680

Dette er ikke så vanskelig å se, om du primtallsfaktoriserer 1680 =)

[cantora]

Men da blir det jo potenser i 3 og 4. Er dette ungdomsskolepensum?
I så tilfelle hvordan regner man dette ut?

[Nebuchadnezzar]

Se det siste jeg skrev, prøv primtallsfaktorisering. =)

Likningen er ikke så vanskelig å løse heller, men den krever litt list. Og er over ungdomskolenivå ja.

EDIT

Jeg kan regne ut likningen jeg, så kan du lløse oppgaven med faktorisering (som det helt sikkert er meningen du skal gjøre.)

Vi ender opp med

[tex]x(x+1)(x+2)(x+3) = 1680[/tex]

Ganger vi ut får vi en noe komplisert fjerdegradslikning, men vi kan heller være litt lure.
Vi ganger sammen [tex]1[/tex] og [tex]4[/tex] parentes og [tex]2[/tex] og [tex]3[/tex]. Dette gir

[tex]x(x^2+3x+2)(x+3) = 1680[/tex]

[tex]\big[\,x(x+3)+2\,\big](x+3)x = 1680[/tex]


Nå setter vi [tex](x+3)x = k[/tex]

[tex]k^2+2k - 1680 = 0[/tex]

Siden [tex]42 \cdot 40 = 1680[/tex] og [tex]-40+42 = 2[/tex] kan vi faktorisere likningen til

[tex](k-40)(k+42) = 0[/tex]

Slik at vi ender opp med likningene, ovenfor har vi at [tex]ab=0[/tex], dette betyr at enten så må
[tex]a=0[/tex] eller [tex]b=0[/tex], altså

[tex]k-40 = 0 \ \vee \ k+42 =0[/tex]


Siden [tex]k = (x+3)x[/tex] får vi

[tex](x+3)x -40 = 0[/tex] og [tex](x+3)x + 42 = 0 [/tex]

Den siste likningen er positiv for alle x. Mens den første likningen kan vi faktorisere.

[tex](x+3)x -40 = 0 \Leftrightarrow \ x^2 + 3x -40 = 0 \ \Leftrightarrow \ (x+8)(y-5)[/tex]

Siden [tex](-5)\cdot 8 = -40[/tex] og [tex]8 - 5 = 3[/tex]

Slik at løsningene blir

[tex](x-5)(x+8) = 0 \ \Rightarrow \ x \, = \, 5 \ \vee \ x \, =\, -8[/tex]

På grunn av oppgaven, så er bare den positive løsningen gyldig.

[cantora]

Har primtallsfaktorisert. Men hvordan skal jeg forklare løsningen?
Svaret : 5, 6, 7, 8

[Nebuchadnezzar]

Da ser du vel at om du stokker litt om så får du løsningene ?

[tex]1680 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 [/tex]
Vi ønsker å skrive om høyre siden til et produkt av [tex]4[/tex] påfølgende heltall.

Da må [tex]5[/tex] inngå og [tex]7[/tex] inngå. Siden de skal værre påfølgende trenger vi også [tex]6[/tex]. heldigvis har vi at [tex]2\cdot 3 = 6[/tex]

[tex]1680 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 [/tex]

[tex]1680 = 2^3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 [/tex]

[tex]1680 = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 2^3 [/tex]

hvor [tex]2^4 = 2 \cdot 2^3[/tex]

[cantora]

Ja, fant ut!

[joesp]

Litt sent med svar, men i tilfelle noen slår dette opp.

Det er ikke meningen å løse en slik oppgaven med likning, spesielt ikke på ungdomsskolen. Og i praksis er det jo mild sagt idioti å løse noe så enkelt ved å løse likning av 4.grad. Her er det kort og greit prøving og feiling som gjelder, gjerne uten kalkulator for å gjøre oppgaven ekstra utfordrende.

[skf95]

Hvis man ganger ut parentesene får man

[tex]x^4+6x^3+11x^2+6x-1680=0[/tex]

Med hjelp dra datamaskin ser jeg dette kan faktoriseres til

[tex](x-5)(x+8)(x^2+3x+42)=0[/tex]

Denne siste likningen er jo enkel å løse, men er noen menneskelig måte å se at en slik faktorisering er mulig?

[Aleks855]

Hvis man ganger ut parentesene får man

[tex]x^4+6x^3+11x^2+6x-1680=0[/tex]

Med hjelp dra datamaskin ser jeg dette kan faktoriseres til

[tex](x-5)(x+8)(x^2+3x+42)=0[/tex]

Denne siste likningen er jo enkel å løse, men er noen menneskelig måte å se at en slik faktorisering er mulig?

Det skal aldri være nødvendig å faktorisere en fjerdegradsfunksjon for hånd. Det kommer aldri til å være pensum med mindre det er snakk om veldig spesielle funksjoner.

Hvis det for eksempel er $x^4 - 4x^2 + 4$ så går det an, men slik som den vi jobber med her, så er det ikke forventet at man skal ta det selv.

Å bruke en datamaskin er uansett en bedre egenskap enn manuell faktorisering.

[Flaw]

Litt sent med svar, men i tilfelle noen slår dette opp.

Det er ikke meningen å løse en slik oppgaven med likning, spesielt ikke på ungdomsskolen. Og i praksis er det jo mild sagt idioti å løse noe så enkelt ved å løse likning av 4.grad. Her er det kort og greit prøving og feiling som gjelder, gjerne uten kalkulator for å gjøre oppgaven ekstra utfordrende.

Hvorfor prøve og feile når man kan faktorisere?

[tex]1680\left|\begin{matrix} 2&840\\ 2&420\\ 2&210\\ 2&105\\ 5&21\\ 7&3\\ 3&1\\ \end{matrix}\right. \Rightarrow 1680 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot7=4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8[/tex]

Selvsagt, man kunne jo vært uheldig å ha et tall der ingen av de etterfølgende tallene er et primtall, slik at rekken ikke blir like opplagt, men da burde "prøving og feiling" startet først der.