Median og forholdHei

[hallapaadeg]

Hei. Har en "vis at" oppgave her som jeg sliter litt med, som jeg gjør med de fleste "Vis at" oppgaver.

"La E være midtpunktet på AB i trekanten ABC. Videre er A midtpunktet på DC, og linja BD treffer linja gjennom C og E i F.

Vis at F deler linjestykket DB i forholdet 2:1.

Aner ikke hvordan jeg skal gå frem for å bevise det.

[AnjaS]

Hei. Først må du finne M idt punktet til alle vektorene. ved regning som å finne 1/2 Dc vektof da finner du A pungt som igjen du kan finne ABC Videre viser du hvordan du finner alle punktene. Da du skal vise den siste F ganger BD vektor med 1/3 for å komme opp i forholdet 2:1.

[hallapaadeg]

Jeg forstår ikke helt. Jeg forstår også at oppgaven gjerne kan løses med vektorer, men det er ikke hensikten her.

[Brahmagupta]

Skal dette gjøres geometrisk er formlikhet veien å gå! Problemet her er at det ikke
er noe særlig med formlike trekanter, da må vi konstruere noen selv.

Start med å konstruere en linje, $l$, gjennom $B$ parallell med $CD$. Forleng så linjestykket $CF$
slik at det skjærer den nye linjen i et punkt $G$. Nå kan vi finne noen formlike trekanter!
Jeg deler resten av beviset opp i deloppgaver så kan du prøve deg på resten selv.

a) Vis at $\triangle{ACE}$ er kongruent med $\triangle{BEG}$.
b) Vis at $\triangle{CDF}$ og $\triangle{BFG}$ er formlike.
c) Vis at $2BF=DF$ (dette vil si at $F$ deler linjestykket $BD$ i forholdet $2:1$).

[hallapaadeg]

Tegner en linje [tex]BG[/tex] som utvider [tex]CB[/tex] slik at [tex]2CB = CG[/tex]. Da oppstår [tex]\bigtriangleup DCG[/tex].

Utvider også [tex]CE[/tex] gjennom punktet [tex]F[/tex] til en ny linje [tex]EH => 2CE = CH[/tex].

Dette betyr at [tex]B[/tex] er midtpunkt på linjen [tex]CG[/tex] og [tex]H[/tex] er midtpunkt på [tex]DG[/tex]. Linjene [tex]HC[/tex] og [tex]BD[/tex] er derfor medianer i [tex]\bigtriangleup DGC[/tex] og

krysningspunktet [tex]F[/tex] for medianene deler bl.a [tex]DF[/tex] og [tex]BF[/tex] i forholdet 2:1.


Prøver meg å vise med medianer da det er delkapittelet det ligger under (glemte å nevne det)

Er det en grei måte å skrive det på? Jeg har ikke lærer og aner ikke hva som er forventet i slike oppgaver.

[Brahmagupta]

Dette fungerer helt fint, men det er et par steder du gjør noen litt raske slutninger uten argumentasjon.

Det er greit at du forlenger $CB$ til et punkt $G$ slik at $BG=CB$. Men når du forlenger $CE$ gjennom $F$
og kaller skjæringspunktet mellom denne linja og $DG$ for $H$ er det ikke helt trivielt at $H$ deler $DG$
i to like store deler. For å vise dette måtte du først vist at $\triangle{CDG}\sim\triangle{ABC}$ med forhold
$2:1$, som medfører at $DG$ er parallell med $AB$. Deretter må du vise at $\triangle{ACE}\sim\triangle{CDH}$
med forhold $1:2$ og først da kan du konkludere med at $H$ er midtpunktet på $DG$.

Disse problemene kan du unngå i en viss grad ved å forandre litt på konstruksjonen din. Konstruer en linje
gjennom $D$ parallell med $AB$ og kall skjæringspunktet med $CB$ for $G$. Nå følger det umiddelbart
at $\triangle{ABC}\sim\triangle{CDG}$ og $\triangle{ACE}\sim\triangle{CDH}$ med forhold $1:2$ siden
$CD=2AC$. Hvilket medfører at $H$ er midtpunktet på $DG$ som ønsket.