Likning med tallet E

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
trycarpe
Cantor
Cantor
Posts: 102
Joined: 23/05-2013 10:42

Jeg sliter skikkelig med å forstå det her med tallet E.

Jeg har en likning her som eksempel
[tex]e^{x}+1=3e^{-x}[/tex]

Hvordan er det jeg skal gå frem for dette?
Får vel si unnskyld på forhånd for dumme spørsmål jeg mest sannsynlig vil komme med :roll:
Lektorn
Riemann
Riemann
Posts: 1630
Joined: 26/05-2014 22:16

Hvis du ikke har skjønt løsning av eksponentiallikninger med e som grunntall, er denne kanskje litt vel avansert. Metoden på den likningen du har der er å multiplisere hele likninga med $e^{x}$ og du ender opp med en andregradslikning der $e^{x}$ er variabelen (lurt med variabelbytte f.eks. $u = e^{x}$).

Når det gjelder e må du huske at dette er en tallkonstant på linje med f.eks. $\pi$ og ikke noen variabel. Det geniale med grunntallet e er at den deriverte til $e^{x}$ er lik $e^{x}$.
Ut fra definisjonen av den naturlige logaritmen følger sammenhengene $ln(e^{x})=x$ og $e^{ln(x)}=x$ som er de "triksene" du bruker for å løse slike likninger.
trycarpe
Cantor
Cantor
Posts: 102
Joined: 23/05-2013 10:42

Så, skal vi se her. Jeg går da frem som dette?

[tex](e^{x}+2-3*\frac{1}{e^{x}})*e^{x}[/tex]

[tex](e^{x})^{2}+2-3*e^{x}[/tex]

men nå blir jeg stående litt fast her.
Jeg antar jeg skal bli "kvitt" den siste E^x her. Men hvordan?
trycarpe
Cantor
Cantor
Posts: 102
Joined: 23/05-2013 10:42

Lektorn wrote:Hvis du ikke har skjønt løsning av eksponentiallikninger med e som grunntall, er denne kanskje litt vel avansert. Metoden på den likningen du har der er å multiplisere hele likninga med $e^{x}$ og du ender opp med en andregradslikning der $e^{x}$ er variabelen (lurt med variabelbytte f.eks. $u = e^{x}$).

Når det gjelder e må du huske at dette er en tallkonstant på linje med f.eks. $\pi$ og ikke noen variabel. Det geniale med grunntallet e er at den deriverte til $e^{x}$ er lik $e^{x}$.
Ut fra definisjonen av den naturlige logaritmen følger sammenhengene $ln(e^{x})=x$ og $e^{ln(x)}=x$ som er de "triksene" du bruker for å løse slike likninger.
Jeg tenkte på en annen måte her også, men vet ikke om det heller blir riktig.

[tex](e^{x}+2)*e^{x}=(3*\frac{1}{e^{x}})*e^{x}[/tex]
[tex](e^{x})^{2}+2=3[/tex]
Lektorn
Riemann
Riemann
Posts: 1630
Joined: 26/05-2014 22:16

Du må beholde likningen altså må du ha med et likhetstegn, ellers gir det ingen mening.
Ellers ser det ut som du har lagt inn andre tall enn i første post?
Og til slutt; når du ganger alle ledd med $e^{x}$ får du litt andre resultat enn det du skriver opp.

Til ditt spørsmål; $e^{x} \cdot e^{x} = e^{2x}$
trycarpe
Cantor
Cantor
Posts: 102
Joined: 23/05-2013 10:42

Lektorn wrote:Du må beholde likningen altså må du ha med et likhetstegn, ellers gir det ingen mening.
Ellers ser det ut som du har lagt inn andre tall enn i første post?
Og til slutt; når du ganger alle ledd med $e^{x}$ får du litt andre resultat enn det du skriver opp.

Til ditt spørsmål; $e^{x} \cdot e^{x} = e^{2x}$
Ja jeg skrev 1 istedenfor 2.. Beklager for det
Så hvis jeg da gjør

[tex](e^{x}+2)*e^{x}=(3*\frac{1}{e^{x}})*e^{x}[/tex]
[tex](e^{2x})+2=3[/tex]
Forstår fortsatt ikke heelt hvordan jeg skal gå videre fra dette, takk for raske svar forresten.
Lektorn
Riemann
Riemann
Posts: 1630
Joined: 26/05-2014 22:16

Du gjør fortsatt en feil når du ganger ut likningen. Hva blir resultatet når du ganger leddet med tallet 2?

Det du gjør videre nå er f.eks. å bytte variabel for å få det litt lettere. Du trenger ikke gjøre dette, men i starten kan det vært lurt.
F.eks. bytter du til variabelen u som er gitt ved $u = e^{x}$ slik at $e^{2x}=u^{2}$. Hvis du ikke skjønner den siste må du repetere potensregler.

Du har nå ei standard andregradslikning med u som variabel. Løs denne på vanlig måte og bytt variabelen tilbake etterpå.
zell
Guru
Guru
Posts: 1777
Joined: 09/02-2007 15:46
Location: Trondheim

[tex]\left(e^x+2\right)e^x=\left(3e^{-x}\right)e^x = e^{2x}+2e^{x}=3 \neq e^{2x}+2=3[/tex]

Det første leddet kjenner du igjen som: [tex]e^{2x} = \left(e^{x}\right)^2[/tex]

Bruk substitusjonen [tex]u = e^{x}[/tex] og løs for u, løs deretter substitusjonen for x.
trycarpe
Cantor
Cantor
Posts: 102
Joined: 23/05-2013 10:42

Lektorn wrote:Du gjør fortsatt en feil når du ganger ut likningen. Hva blir resultatet når du ganger leddet med tallet 2?

Det du gjør videre nå er f.eks. å bytte variabel for å få det litt lettere. Du trenger ikke gjøre dette, men i starten kan det vært lurt.
F.eks. bytter du til variabelen u som er gitt ved $u = e^{x}$ slik at $e^{2x}=u^{2}$. Hvis du ikke skjønner den siste må du repetere potensregler.

Du har nå ei standard andregradslikning med u som variabel. Løs denne på vanlig måte og bytt variabelen tilbake etterpå.
Okei skal vi se her.

[tex](e^{x}+2)*e^{x}=(3e^{-x})*e^{-x}[/tex]
Her blir jeg litt usikker på hva jeg skal gjøre med 2 og 3.
Jeg har forstått hvordan jeg skal slå sammen alle e`x så det blir [tex](e^{x})^{2}-e^{x}[/tex]
Hvis ikke jeg er helt på jordet igjen.. Pokker altså :oops:
trycarpe
Cantor
Cantor
Posts: 102
Joined: 23/05-2013 10:42

Kan jeg gjøre som dette?

[tex]e^{2x}+2e^{x}-3=3-3[/tex]

????
zell
Guru
Guru
Posts: 1777
Joined: 09/02-2007 15:46
Location: Trondheim

Ja. Hvis du har en vekt og du har 2kg på hver side, vil du fortsatt ha lik vekt på hver side om du fjerner 1 kg på begge sider?
trycarpe
Cantor
Cantor
Posts: 102
Joined: 23/05-2013 10:42

Jeg har fortsatt ikke fått til denne! Er det noen som kan hjelpe meg med å forstå?

Jeg har kommet frem til dette :

[tex]e^{x}+2=3e^{-x}[/tex]
[tex](e^{x}+2)*e^{x}=(3*\frac{1}{e^{x}})* e^{x}[/tex]
[tex](e^{x})^{2}+2=3[/tex]
[tex](e^{x})^{1}+2-3[/tex]


Hvordan skal jeg fortsette dette? hvordan tar jeg ABC formelen med EX? Kan noen være så greie og hjelpe meg :(
Lektorn
Riemann
Riemann
Posts: 1630
Joined: 26/05-2014 22:16

Du gjør feil i overgangen der du ganger ut på begge sider.

[tex]e^{x}+2=3e^{-x}[/tex]
[tex](e^{x}+2) \cdot e^{x}=3e^{-x} \cdot e^{x}[/tex]
[tex]e^{2x}+2e^{x}=3[/tex]
[tex]e^{2x}+2e^{x}-3=0[/tex]

Dette er en andregradslikning med [tex]e^x[/tex] som variabel. Hvis du synes det blir vanskelig å se/få til kan du bytte variebel et lite øyeblikk:
[tex]u=e^x[/tex] som gir likningen
[tex]u^2+2u-3=0[/tex]

Når du har løst denne på vanlig måte, bytter du tilbake og løser med hensyn på x.
Post Reply