Eksamensoppgave- Approksimasjon av e

[skviseteoremet]

Jobber med en oppgave hvor jeg skal approksimere en verdi av e ved hjelp av Maclaurinrekken til e^x. Må få en verdi for e med en feil mindre enn 10^-5.

Det jeg ikke skjønner er hva 's'-en i taylors feilformel skal være (for å kunne regne meg fram til antall ledd som skal med i approksimasjonen). Vanligvis har jeg et intervall hvor jeg må velge en s slik at en den n-te deriverte blir størst mulig.

Ser i lønsningsforslaget at de har valgt s=3. Velger man dette tallet litt tilfeldig?

Takk

[Gustav]

Når du beregner feilleddet må du finne den største mulige feilen vi kan få. De har nok sett s=3 da dette gir størst mulig verdi for feilen.

EDIT: litt uklart hva du mener med s egentlig. Skriv gjerne opp uttrykket du bruker for feilen.

[skviseteoremet]

Når du beregner feilleddet må du finne den største mulige feilen vi kan få. De har nok sett s=3 da dette gir størst mulig verdi for feilen.

EDIT: litt uklart hva du mener med s egentlig. Skriv gjerne opp uttrykket du bruker for feilen.

Det er akkurat det jeg mener, at jeg velger en s som gir størst mulige verdi på feilen. Men når f(x)=e^x ser jeg ikke hvordan en s=3 gjør feilen størst mulig. e^x går jo til uendelig..

Bruker feilformeln ved Taylor [tex]E(x)=\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}) (x)^{n+1}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Se eksempelet her http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem#Example

Ved å ta absoluttverdien av feilleddet får vi

$|E_k(x)| \le M\frac{|x|^{k+1}}{(k+1)!}$

Hvor $|f^{(k+1)}(x)|\leq M$. Siden $(e^x)'=e^x$. Så er $f^{k+1}(x) = e^x$, og $f^{k+1}(1) =e$.
Dermed så vet vi at $|f^{k+1}(1)| \leq e$. Ved å sette inn $x=1$ fås da

$|E_k(1)| \le M\frac{|1|^{k+1}}{(k+1)!}$

Herfra kan du sette inn $10^{-5}$ og løse med hensyn på $k$.