Optimering

[MatteGeniet99]

Oppgaven lyder:

Gudbrand I. Lia har et gjerde som er 20 m langt. Han skal lage to rektangulære områder inntil fjøsveggen slik figuren viser:


....................................................!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!...................................................
................................................... !.................................!.................................... !...........................................................................
....................................................!.................................! ....................................!..........................................................................
....................................................!.................................!.....................................!..........................................................................
............................................... x .!............................ x..!.....................................!..x.......................................................................
....................................................!.................................!.....................................!..........................................................................
....................................................!.................................!.....................................!..........................................................................
....................................................!.................................!.....................................!..........................................................................
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________
FJØSVEGGEN


(Utropstegnene er gjerdet som til sammen er 20 meter, og den lange mørke stripen under er fjøsveggen)

-Finn lengden og bredden av hele området når arealet skal blir størst mulig.


Håper dere skjønte oppgaven, det var den beste tegningen jeg fikk til. Jeg må si at jeg står dønn stille på denne oppgaven, jeg vet ikke hva jeg skal gjøre når ingen av lengdene er kjent. Utenom at hele gjerdet tilsammen er 20 meter. Takk for hjelp!

[MatteGeniet99]

Det ble litt mange utropstegn på den ytterste raden (sorry), den skulle egentlig stoppe slik at det ble dannet ett rektangel visst dere skjønner. Det var bare sinnsyk vanskelig å lage en modell av oppgaven.

[Lektorn]

Klarer du å lage et uttrykk for lengden av langsiden?
I så fall klarer du også å lage et uttrykk, A(x), for arealet (bredde * lengde).
Da blir siste steg å finne ut hvilke verdier for x som gir maksimal verdi for A(x).

[MatteGeniet99]

Blir det riktig å si at lengden av siden blir (20 — 3x)? Da blir A(x) = 20x — 3x^2

Hva skal jeg gjøre videre?

[Lektorn]

Det ser rett ut!

Du skal nå finne den x-verdien som gir maksimal verdi for A(x). Hvordan kan du gjøre det?
Det er nok flere metoder, men du må først komme på (se) hva dette kalles på matematisk språk.

[MatteGeniet99]

Er det det stasjonære punktet??!! :DDDD

[Lektorn]

Dette er en oppgave som er godt egnet for grafisk løsning IMO.
Har du prøvd å tegne A(x)?

[MatteGeniet99]

Ja, men jeg synes at det blir litt vanskelig å finne den nøyaktige løsningen da. Men vet du om man kan bare regne det ut?

[Lektorn]

Ja, det er jo x-verdien i toppunktet du skal finne.
Siden dette er en polynomfunksjon kan du sette den deriverte lik null og finne x-verdien. Siden koeffisienten foran andregradsleddet er negativ vet du at dette gir deg toppunktet.