Noen som kan hinte meg på fremgangsmåten (/løsning) av induksjonsbevis av denne typen? Oppgaven lyder: Gjennomfør et induksjonsbevis for at summen av de n første leddene i rekka er gitt ved [tex]S_{n}=\frac{5}{6}n^3-2n^2+\frac{55}{6}n.[/tex]
Induksjonsbevis
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Hei Noen som kan hinte meg på fremgangsmåten (/løsning) av induksjonsbevis av denne typen? Oppgaven lyder:
Gjennomfør et induksjonsbevis for at summen av de n første leddene i rekka er gitt ved [tex]S_{n}=\frac{5}{6}n^3-2n^2+\frac{55}{6}n.[/tex]
Noen som kan hinte meg på fremgangsmåten (/løsning) av induksjonsbevis av denne typen? Oppgaven lyder: Gjennomfør et induksjonsbevis for at summen av de n første leddene i rekka er gitt ved [tex]S_{n}=\frac{5}{6}n^3-2n^2+\frac{55}{6}n.[/tex]
Da regner jeg med du har fått oppgitt en rekke også?
Kan du de tre stegene i et induksjonsbevis?
1) Vis at påstanden/formelen holder for n=1 (hvis 1 er startverdien).
2) Anta at påstanden holder for n=k
3) Vi at hvis påstanden holder for n=k så må den holde for n=k+1
Det er siste trinn som er selv jobben, men du må ha med de 2 første også.
Kan du de tre stegene i et induksjonsbevis?
1) Vis at påstanden/formelen holder for n=1 (hvis 1 er startverdien).
2) Anta at påstanden holder for n=k
3) Vi at hvis påstanden holder for n=k så må den holde for n=k+1
Det er siste trinn som er selv jobben, men du må ha med de 2 første også.
Ja, fikk innledningsvis oppgitt følgende uendelige rekke 8+9+15+26+42+...
Fant at den eksplisitte formelen for det n-te leddet i rekka var, [tex]a_{n}=2,5n^2-6,5n+12[/tex]
Fremgangsmåten for induksjonsbevis av denne typen er helt greit: "Gjennomfør et induksjonsbevis for at: [tex]6+11+16+21+...+(5n+1)=\frac{n(5n+7)}{2}[/tex]
for alle naturlige tall."
Men i oppgaven "Gjennomfør et induksjonsbevis for at summen av de n første leddene i rekke gitt ved [tex]S_{n}=\frac{5}{6}n^3-2n^2+\frac{55}{6}n,[/tex]" ble jeg usikker på oppsettet.
Fant at den eksplisitte formelen for det n-te leddet i rekka var, [tex]a_{n}=2,5n^2-6,5n+12[/tex]
Fremgangsmåten for induksjonsbevis av denne typen er helt greit: "Gjennomfør et induksjonsbevis for at: [tex]6+11+16+21+...+(5n+1)=\frac{n(5n+7)}{2}[/tex]
for alle naturlige tall."
Men i oppgaven "Gjennomfør et induksjonsbevis for at summen av de n første leddene i rekke gitt ved [tex]S_{n}=\frac{5}{6}n^3-2n^2+\frac{55}{6}n,[/tex]" ble jeg usikker på oppsettet.
Hm, det er samme metode, men du må kanskje sette opp sammenhengen selv.
Summen av de $n$ første leddene er her:
$8+9+ ... + (2,5n^2 - 6,5n + 12) = \frac {5}{6}n^3 - 2n^2 + \frac {55}{6}n$
Bytt ut $n$ med $k$ så har du steg 2.
På steg 3 skal du da legge til ett ledd til på begge sider. Hva blir dette leddet?
Summen av de $n$ første leddene er her:
$8+9+ ... + (2,5n^2 - 6,5n + 12) = \frac {5}{6}n^3 - 2n^2 + \frac {55}{6}n$
Bytt ut $n$ med $k$ så har du steg 2.
På steg 3 skal du da legge til ett ledd til på begge sider. Hva blir dette leddet?
Punkt 1: test for n=1
V.S. 8 og H.S. 8
Punkt 2: antar at sammenhengen er riktig for n=t
[tex]8+9+15+26+42+..+(2,5t^2-6,5t+12)=\frac{5}{6}t^3-2t^2+\frac{55}{6}t[/tex]
Punkt 3: dersom sammenhengen stemmer for n=t, så vil den også stemme for n=t+1
[tex]8+9+15+26+42+..+(2,5t^2-6,5t+12)+(2,5(t+1)^2-6,5(t+1)+12)[/tex]
Vi ønsker:
[tex]\frac{5}{6}(t+1)^3-2(t+1)^2+\frac{55}{6}(t+1)[/tex]
Fra punkt 2 har vi at:
[tex]\frac{5}{6}t^3-2t^2+\frac{55}{6}t+(2,5(t+1)^2-6,5(t+1)+12)[/tex]
Så da må denne likningen løses og vi får (forhåpentligvis) det vi ønsket, og kan si Q.E.D.!
V.S. 8 og H.S. 8
Punkt 2: antar at sammenhengen er riktig for n=t
[tex]8+9+15+26+42+..+(2,5t^2-6,5t+12)=\frac{5}{6}t^3-2t^2+\frac{55}{6}t[/tex]
Punkt 3: dersom sammenhengen stemmer for n=t, så vil den også stemme for n=t+1
[tex]8+9+15+26+42+..+(2,5t^2-6,5t+12)+(2,5(t+1)^2-6,5(t+1)+12)[/tex]
Vi ønsker:
[tex]\frac{5}{6}(t+1)^3-2(t+1)^2+\frac{55}{6}(t+1)[/tex]
Fra punkt 2 har vi at:
[tex]\frac{5}{6}t^3-2t^2+\frac{55}{6}t+(2,5(t+1)^2-6,5(t+1)+12)[/tex]
Så da må denne likningen løses og vi får (forhåpentligvis) det vi ønsket, og kan si Q.E.D.!