Integrasjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Guest

Sliter litt med å integrere [tex]\frax{x^2}{x^2-4}[/tex] korrekt. Jeg bruker delbrøksoppspaltning, men får ikke fullkommen svar. Svaret mitt ble i hvertfall [tex][tex][/tex] -\ln(x+2)++ln(x-2)[/tex}. Men svaret skal inkludere + x også. Noen som kunne ha forklart hvorfor?
Guest

Skal stå [tex][tex][/tex] \frac{x^2}{x^2-4}
Lektorn
Riemann
Riemann
Posts: 1630
Joined: 26/05-2014 22:16

Hvordan har du løst oppgven, dvs. hvilken integrasjonsteknikk har du brukt?

Regner med integranden skal være $\frac {x^2}{x^2 - 4}$
Barca
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 3
Joined: 19/03-2015 11:37

Lektorn wrote:Hvordan har du løst oppgven, dvs. hvilken integrasjonsteknikk har du brukt?

Regner med integranden skal være $\frac {x^2}{x^2 - 4}$

Riktig. Jeg brukte delbrøksoppsalting.

[tex]\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}[/tex]

[tex]A(x+2)+B(x-2)=x^2[/tex]
A=1
B=-1
Dermed fikk jeg [tex]ln(x-2)-ln(x+2)+C[/tex]
Men svaret skal inkludere +x. Jeg regner med det har noe med [tex]x^2[/tex] jeg gjør feil?

hva gjør jeg feil?
Lektorn
Riemann
Riemann
Posts: 1630
Joined: 26/05-2014 22:16

Delbrøkoppspaltingen din er feil. Prøv å trekke sammen brøkene så ser du at det blir feil.
Når telleren har like høy grad som nevneren må du enten utføre polynomdivisjon først, eller splitte opp med en ekstra nevner slik:
$\frac {x^2}{x^2 - 4} = \frac {A}{1} + \frac {B}{x+2} + \frac {C}{x-2}$
Barca
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 3
Joined: 19/03-2015 11:37

Lektorn wrote:Delbrøkoppspaltingen din er feil. Prøv å trekke sammen brøkene så ser du at det blir feil.
Når telleren har like høy grad som nevneren må du enten utføre polynomdivisjon først, eller splitte opp med en ekstra nevner slik:
$\frac {x^2}{x^2 - 4} = \frac {A}{1} + \frac {B}{x+2} + \frac {C}{x-2}$
Jeg skjønner. Men hva er hensikten med å splitte opp med en ekstra nevner?
Hva skjer om telleren har høyere grad enn nevneren. Blir det samme utfall som nå?
Lektorn
Riemann
Riemann
Posts: 1630
Joined: 26/05-2014 22:16

Hensikten er å få et ledd med $x^2$ i telleren, noe du ikke klarer med bare to brøker.
Hvis teller har høyere grad og andre metoder ikke fungerer (f.eks. variabelskifte) må du utføre polynomdivisjonen og se hva du ender opp med. Hvis nevneren er grei å faktorisere vil dette trolig være en grei måte å komme i mål på. :)
Barca
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 3
Joined: 19/03-2015 11:37

Lektorn wrote:Hensikten er å få et ledd med $x^2$ i telleren, noe du ikke klarer med bare to brøker.
Hvis teller har høyere grad og andre metoder ikke fungerer (f.eks. variabelskifte) må du utføre polynomdivisjonen og se hva du ender opp med. Hvis nevneren er grei å faktorisere vil dette trolig være en grei måte å komme i mål på. :)

Takk for hjelpen :) .
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 5648
Joined: 24/05-2009 14:16
Location: NTNU

Du kan for eksempel legge merke til at

$
\frac{x^2}{x^2 - 4} = \frac{(x^2-4) + 4}{x^2 - 4} = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} + \frac{4}{x^2 - 4}
$

På det siste uttrykket kan du bruke delbrøksoppspalting. Omskrivningen bir gjort av de grunnene som Lektoren nevner.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Post Reply