Separable differensiallikninger

[Johan Nes]

Heisann,

Læreboken min har kun to eksempler, så jeg føler meg ikke helt med enda, men jeg prøver. Forstår ikke helt denne. Er nesten i mål, tror jeg.

[tex]yy'=y+1[/tex]

[tex]\frac{y}{y+1}\frac{dy}{dx}=1[/tex]

[tex]\int \frac{y}{y+1}dy=\int 1dx[/tex]

Substituerer: [tex]u=y+1\Leftrightarrow y=u-1[/tex]

[tex]\int \frac{u-1}{u}du=\int 1dx[/tex]

[tex]u-ln|u|+C1=x+C2[/tex]

[tex]y+1-ln|y+1|+C1=x+C2[/tex]

Men i fasiten står det:

[tex]y-ln|y+1|+C1=x+C2[/tex]

Altså 1-tallet er borte. Har gått over noen ganger og skjønner ikke hvor feilen evt. ligger.

Fasiten gir også svaret: eller y=-1.

Anyone?

[Aleks855]

Tenk på hva $C_1$ er. En vilkårlig variabel. Hva er da $C_1 + 1$? En annen vilkårlig variabel. Hvorfor ikke bare rydde opp og si at summen av dem er den vilkårlige variabelen i stedet? På den måten forsvinner 1ern.

Det samme gjelder $C_2$ som du har på høyre side. Subtraher den på begge sider, så har du $C_1 - C_2$ som igjen bare er en vilkårlig variabel. Vi kan godt bare kalle dette for $D$ og få det enda mer ryddig.

[Gustav]

Heisann,

Læreboken min har kun to eksempler, så jeg føler meg ikke helt med enda, men jeg prøver. Forstår ikke helt denne. Er nesten i mål, tror jeg.

[tex]yy'=y+1[/tex]

[tex]\frac{y}{y+1}\frac{dy}{dx}=1[/tex]

[tex]\int \frac{y}{y+1}dy=\int 1dx[/tex]

Substituerer: [tex]u=y+1\Leftrightarrow y=u-1[/tex]

[tex]\int \frac{u-1}{u}du=\int 1dx[/tex]

[tex]u-ln|u|+C1=x+C2[/tex]

[tex]y+1-ln|y+1|+C1=x+C2[/tex]

Men i fasiten står det:

[tex]y-ln|y+1|+C1=x+C2[/tex]

Altså 1-tallet er borte. Har gått over noen ganger og skjønner ikke hvor feilen evt. ligger.

Fasiten gir også svaret: eller y=-1.

Anyone?

Fasiten og ditt svar er ekvivalente, og begge svarene er ekvivalente med [tex]y-ln|y+1|=x+C[/tex]

y=-1 er åpenbart en løsning når vi setter inn i likningen. Men denne løsningen faller ikke ut av utregningen din pga at du har antatt at $y\neq -1$ idet du deler med y+1 i andre linje. Dermed må du sjekke denne muligheten separat.

[Johan Nes]

Tenk på hva $C_1$ er. En vilkårlig variabel. Hva er da $C_1 + 1$? En annen vilkårlig variabel. Hvorfor ikke bare rydde opp og si at summen av dem er den vilkårlige variabelen i stedet? På den måten forsvinner 1ern.

Det samme gjelder $C_2$ som du har på høyre side. Subtraher den på begge sider, så har du $C_1 - C_2$ som igjen bare er en vilkårlig variabel. Vi kan godt bare kalle dette for $D$ og få det enda mer ryddig.

Hmmm...

Tror jeg forstår hva du mener. Men 1 er jo ikke et vilkårlig tall, så er vel derfor jeg ikke forstod det. Men er det da slik at hver gang vi har et ledd som kun består av et tall, så blir det "bakt inn" i konstanten/variabelen C eller D eller hva du nå kaller det?

Jeg repeterte R2 pensum for noen uker siden og der innførte de flere konstanter uten å forklare annet enn at "slik var det". Læreboken vi har nå sier også minimalt om noe i det hele tatt om dette. Så det er ikke veldig tydelig for min del.

[Johan Nes]

Heisann,

Læreboken min har kun to eksempler, så jeg føler meg ikke helt med enda, men jeg prøver. Forstår ikke helt denne. Er nesten i mål, tror jeg.

[tex]yy'=y+1[/tex]

[tex]\frac{y}{y+1}\frac{dy}{dx}=1[/tex]

[tex]\int \frac{y}{y+1}dy=\int 1dx[/tex]

Substituerer: [tex]u=y+1\Leftrightarrow y=u-1[/tex]

[tex]\int \frac{u-1}{u}du=\int 1dx[/tex]

[tex]u-ln|u|+C1=x+C2[/tex]

[tex]y+1-ln|y+1|+C1=x+C2[/tex]

Men i fasiten står det:

[tex]y-ln|y+1|+C1=x+C2[/tex]

Altså 1-tallet er borte. Har gått over noen ganger og skjønner ikke hvor feilen evt. ligger.

Fasiten gir også svaret: eller y=-1.

Anyone?

Fasiten og ditt svar er ekvivalente, og begge svarene er ekvivalente med [tex]y-ln|y+1|=x+C[/tex]

y=-1 er åpenbart en løsning når vi setter inn i likningen. Men denne løsningen faller ikke ut av utregningen din pga at du har antatt at $y\neq -1$ idet du deler med y+1 i andre linje. Dermed må du sjekke denne muligheten separat.

Takk, Plutarco.

Tror jeg forstår. Men hvordan kommer du frem til at y=-1 er en løsning?

[Gustav]

Tror jeg forstår. Men hvordan kommer du frem til at y=-1 er en løsning?

Ved innsetting verifiserer vi at y=-1 er en løsning.

Det du egentlig gjør er følgende:

Deler opp i to tilfeller:
Anta først at $y\neq 1$. Dette gir en familie av løsninger.

Anta så at y=-1. Sjekk om dette er en løsning. I dette tilfellet passer denne konstante funksjonen inn i ligninga, så det er en løsning.

TIps: Se alltid etter om det fins konstante funksjoner som er løsning på diff.ligninger.

[Aleks855]

Tenk på hva $C_1$ er. En vilkårlig variabel. Hva er da $C_1 + 1$? En annen vilkårlig variabel. Hvorfor ikke bare rydde opp og si at summen av dem er den vilkårlige variabelen i stedet? På den måten forsvinner 1ern.

Det samme gjelder $C_2$ som du har på høyre side. Subtraher den på begge sider, så har du $C_1 - C_2$ som igjen bare er en vilkårlig variabel. Vi kan godt bare kalle dette for $D$ og få det enda mer ryddig.

Hmmm...

Tror jeg forstår hva du mener. Men 1 er jo ikke et vilkårlig tall, så er vel derfor jeg ikke forstod det. Men er det da slik at hver gang vi har et ledd som kun består av et tall, så blir det "bakt inn" i konstanten/variabelen C eller D eller hva du nå kaller det?

Jeg repeterte R2 pensum for noen uker siden og der innførte de flere konstanter uten å forklare annet enn at "slik var det". Læreboken vi har nå sier også minimalt om noe i det hele tatt om dette. Så det er ikke veldig tydelig for min del.

1 er ikke vilkårlig nei, men C+1 er det. Det er faktisk ingen praktisk forskjell på C og C+1, og derfor pleier vi bare å "bake inn" konstantledd på den måten.

Konstantene dukker i stor grad opp pga. ubestemte integraler, så det er naturlig at de dukker opp i difflikning-oppgaver.

[Johan Nes]

Hjertelig takk til begge to. Ting ble litt klarere nå. Mulig jeg må "plage" dere med flere oppgaver etterhvert.

1 er ikke vilkårlig nei, men C+1 er det. Det er faktisk ingen praktisk forskjell på C og C+1, og derfor pleier vi bare å "bake inn" konstantledd på den måten.

Skjønner. Og da vil dette gjelde alle andre tall som står alene også? Om jeg for eksempel hadde +/- 1000, så hadde det leddet også blitt "baket inn" i konstantleddet på samme måte?

[Johan Nes]

En ny en:

[tex]2yy'=y^2+1[/tex]

[tex]\frac{2yy'}{y^2+1}=1[/tex]

[tex]\int \frac{2y}{y^2+1}dy=\int 1dx[/tex]

Bruker substitusjonen [tex]u=y^2+1[/tex] og om jeg har gjort rett skulle vi da få

[tex]ln|y^2+1|=x+C[/tex]

Fast forward:

[tex]y^2+1 =+-e^ce^x[/tex]

Men etter fasiten blir ikke leddet 1 her bakt inn og man får -1 på høyre side. Er det fordi konstanten [tex]+-e^c=C[/tex] er en faktor i produktet på høyre side i motsetning til et frittstående ledd/konstant som i foregående oppgave?

[Aleks855]

Jepp.

Tenk på integrasjonskonstanten som dukker opp når vi f. eks. integrerer $\int x \mathrm dx = \frac{x^2}{2}+ C$

Hvis vi deriverer $\frac{x^2}{2}+C$ så får vi svaret $x$. Hvis vi deriverer $\frac{x^2}{2}+C \pm 1000$ så får vi fremdeles bare $x$. Derfor bryr vi oss ikke om å se forskjell på $C$ og $C\pm 1000$.

[Aleks855]

Fast forward:

[tex]y^2+1 =+-e^ce^x[/tex]

Men etter fasiten blir ikke leddet 1 her bakt inn og man får -1 på høyre side. Er det fordi konstanten [tex]+-e^c=C[/tex] er en faktor i produktet på høyre side i motsetning til et frittstående ledd/konstant som i foregående oppgave?

Jeg har ikke sett over utregninga, men tar bare høyde for dette ene uttrykket.

Her har du integrasjonskonstanten $c$. Tenk da på $e^c$, som nå også blir en helt vilkårlig konstant. Ofte sier vi derfra at $e^c = D$ for å rydde litt.

+1 kan ikke bakes inn her, fordi du får $\pm De^x$ på høyre side, og dette er ikke en vilkårlig konstant, men en funksjon.

[Johan Nes]

Stemmer. Var mer eller mindre dette jeg konkluderte med selv etter at jeg hadde texet ferdig.

Thanks, Aleks. You the man.

[Johan Nes]

Løste nettopp en oppgave hvor konstanten C fikk negativt fortegn i fasit. Jeg satte positivt fortegn fordi alle oppgaver og eksempler jeg har sett hittil bruker man positivt fortegn på en vilkårlig konstant C. Svaret jeg fikk var ellers rett.

Noe jeg har gått glipp av eller misforstått?

[Aleks855]

Nah, høres greit ut det. Ingen vits å differensiere mellom -C og C.

[Johan Nes]

Nice!

Da var faktisk alle oppgavene med separable differensiallikninger unnagjort. Følte jeg fikk taket på det til slutt, men kan ikke si jeg føler at jeg har en veldig dyp forståelse av hva jeg driver med. Blir litt, "Monkey see, monkey do."

Initialverdiproblemer og Eulers metode next.