R2 - Lineær differensiallikning

[ThomasSkas]

Hei! Jeg må se hvor jeg gjør feil.

Oppgaven er som følger:

Løs likningen:

$x{y}^{\prime }-2y=x^3$

Okei, det jeg gjør:

Integrerende faktor: $e^{\int -2dx}=e^{-2x}$

Deretter multipliserer jeg med denne:

$x{y}^{\prime }\cdot e^{-2x}-2y\cdot e^{-2x}=x^3\cdot e^{-2x}$

Da skriver jeg dette som:

$\int (y\cdot e^{-2x})=\int x^3\cdot e^{-2x}dx$

$y\cdot e^{-2x}=\int x^3\cdot e^{-2x}$

Integralet på høyre side fant jeg ved delvis integrasjon (HELE TRE GANGER!) og får følgende:

$y\cdot e^{-2x}=-\frac{1}{2}{x}^3\cdot e^{-2x}-\frac{3}{4}{x}^2\cdot e^{-2x}-\frac{3}{4}x\cdot e^{-2x}-\frac{3}{8}+C$

Ganger dette opp med e^2x

og får:

$y=-\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{4}{x}^2-\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}+C$

Her stopper det helt opp fordi fasiten sier: $y=x^3+C\cdot x^2$

Her må jeg ha misforstått noe veldig viktig??

[FAB]

Jeg ville ha delt likningen med x på starten:
$y^{\prime }-\frac{2}{x}y=x^2$
så er F= $-\frac{2}{x}$

[hallapaadeg]

Ikke at jeg er noen ekspert på difflikninger, men det er noe muffins på gang her:

$x{y}^{\prime }\cdot e^{-2x}-2y\cdot e^{-2x}=x^3\cdot e^{-2x}$

Da skriver jeg dette som:

$\int (y\cdot e^{-2x})=\int x^3\cdot e^{-2x}dx$

(Sidenote: Jeg fikk riktig svar ved å gjøre som FAB skrev her)

[ThomasSkas]

Ikke at jeg er noen ekspert på difflikninger, men det er noe muffins på gang her:

(Sidenote: Jeg fikk riktig svar ved å gjøre som FAB skrev her)

Jeg ville ha delt likningen med x på starten:
$y^{\prime }-\frac{2}{x}y=x^2$
så er F= $-\frac{2}{x}$

Ok, så jeg skal bruke F = -2/x som integrerende faktor?
Hvis ja, da har jeg skjønt det dere sier og da har jeg lært å se på diff. likninger på en litt bedre måte. Og ikke bare begynne å løse før man tenker seg om.

[Lektorn]

For å bruke integrerendefaktor må du først "dele bort" alt som står foran y'.
En grei måte å se dette på er å derivere venstre side etter at du har ganget med integrerende faktor og trukket sammen.

[ThomasSkas]

For å bruke integrerendefaktor må du først "dele bort" alt som står foran y'.
En grei måte å se dette på er å derivere venstre side etter at du har ganget med integrerende faktor og trukket sammen.

Ja, det er fornuftig. Takk!

[ThomasSkas]

For å bruke integrerendefaktor må du først "dele bort" alt som står foran y'.
En grei måte å se dette på er å derivere venstre side etter at du har ganget med integrerende faktor og trukket sammen.

$e^{\int \frac{-2}{x}dx}=\frac{1}{x^2}$

Jeg fant at det er integrerende faktor, som de andre nevnte ovenfor.
Da må jeg vel gange ovenfor med den, men da får jeg

$\frac{1}{x^2}{y}^{\prime }-\frac{2}{x^3}y=1$

Og herfra får jeg bare et tullesvar som jeg ikke gidder å skrive opp fordi det er helt på jordet sammenliknet med fasiten.

[FAB]

Hei!

Gjenkjenner du produktregel for derivasjon på venstre side? ${\left(\frac{1}{x^2}y\right)}^{\prime }$ = 1 , eller? Så tar du integral av begge sidene og står igjen med $\left(\frac{1}{x^2}y\right)$= x+c

edit: copy paste uff..

[ThomasSkas]

Hei!

Gjenkjenner du produktregel for derivasjon på venstre side? ${\left(\frac{1}{x^2}y\right)}^{\prime }$ = 1 , eller? Så tar du integral av begge sidene og står igjen med $\left(\frac{1}{x^2}y\right)$= x+c

edit: copy paste uff..

Hei, ja, det var nettopp det jeg gjorde, men jeg fikk faktisk x^4 etter at jeg hadde ganget opp med x^2, og derfor tenkte jeg at det var helt på jordet.
Takker!

[FAB]

$\frac{1}{x^2}y=x+c$

Gang med $x^2$


$y=x^3+x^{2}C$

[ThomasSkas]

$\frac{1}{x^2}y=x+c$

Gang med $x^2$


$y=x^3+x^{2}C$

Logisk!