Lineære differensialligninger med konstante koeffisienter

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

Hei og god påske,

[tex]y''+5'-6y=14e^x[/tex]

Løser den tilhørende homogene differensialligningen og får at den er

[tex]y_{h}=Ae^{-6x}+Be^x[/tex]

Da har jeg lært at man skal gjette den partikulære løsningen og prøver da

[tex]y_{p} = Ae^x[/tex]

Setter inn i den opprinnelige ligningen:

[tex]Ae^x+5Ae^x-6Ae^x=14e^x[/tex]

Men her summerer jo venstre side seg til 0 og det gir jo ingen løsning. Fasiten lyder som følger:

[tex]Ae^{-6x}+(B+2x)e^x[/tex]

Noen som har peiling? :)
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 5648
Joined: 24/05-2009 14:16
Location: NTNU

Dersom du får null, er det mest naturlige å gette på $(Ax + B) e^x$. Altså
at du gjetter på $p(x) e^x$ hvor $p$ er et polynom. Dersom det ikke funker med grad 1 øker du bare graden
til det funker :p
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

Dude! Thanks! :) Det var raskt svar.

Skulle akkurat til å skrive at jeg tenkte å gjøre nettopp det, men får ikke tid til å sjekke over før litt senere. Rapporterer tilbake. :)
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

[tex]y_{p}=14xe^x[/tex] fungerte strålende. :D :D :D
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

[tex]y'' + 9y= 0[/tex]

[tex]y_{h}=C_{1} cos 3x+C_{2}sin 3x[/tex]

Skal løse [tex]y'' + 9y= t+1[/tex]

Gjetter [tex]y_{p}=At + b[/tex]

[tex]y''_{p}=0[/tex]

Setter inn og får:

[tex]0+9(At+b)=t+1[/tex]

[tex]A=B=\frac{1}{9}[/tex]

[tex]y_{p}=\frac{1}{9}t+\frac{1}{9}[/tex]

Ser dette rett ut? Hadde nemlig ikke fasit på denne.

Resten er jo greit om [tex]y_{p}[/tex] er rett. :)
Aleks855
Rasch
Rasch
Posts: 6874
Joined: 19/03-2011 15:19
Location: Trondheim
Contact:

Ser rett ut, både partikulærløsninga og komplementærløsninga. Du vet sikkert hva du skal gjøre når du har funnet dem.

Dog, ser ut som du blander litt mellom $x$ og $t$, men det er fort gjort.
Image
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

Thanks, Aleks.

Variabelrotet skyldes at Yh kom fra en deloppgave hvor x var variabelen, mens t var variabelen i den oppgaven jeg skulle løse (som brukte resultatet fra deloppgaven med x). ;)
Post Reply