Lineære differensialligninger med konstante koeffisienter

[Johan Nes]

Hei og god påske,

[tex]y''+5'-6y=14e^x[/tex]

Løser den tilhørende homogene differensialligningen og får at den er

[tex]y_{h}=Ae^{-6x}+Be^x[/tex]

Da har jeg lært at man skal gjette den partikulære løsningen og prøver da

[tex]y_{p} = Ae^x[/tex]

Setter inn i den opprinnelige ligningen:

[tex]Ae^x+5Ae^x-6Ae^x=14e^x[/tex]

Men her summerer jo venstre side seg til 0 og det gir jo ingen løsning. Fasiten lyder som følger:

[tex]Ae^{-6x}+(B+2x)e^x[/tex]

Noen som har peiling?

[Nebuchadnezzar]

Dersom du får null, er det mest naturlige å gette på $(Ax + B) e^x$. Altså
at du gjetter på $p(x) e^x$ hvor $p$ er et polynom. Dersom det ikke funker med grad 1 øker du bare graden
til det funker :p

[Johan Nes]

Dude! Thanks! Det var raskt svar.

Skulle akkurat til å skrive at jeg tenkte å gjøre nettopp det, men får ikke tid til å sjekke over før litt senere. Rapporterer tilbake.

[Johan Nes]

[tex]y_{p}=14xe^x[/tex] fungerte strålende.

[Johan Nes]

[tex]y'' + 9y= 0[/tex]

[tex]y_{h}=C_{1} cos 3x+C_{2}sin 3x[/tex]

Skal løse [tex]y'' + 9y= t+1[/tex]

Gjetter [tex]y_{p}=At + b[/tex]

[tex]y''_{p}=0[/tex]

Setter inn og får:

[tex]0+9(At+b)=t+1[/tex]

[tex]A=B=\frac{1}{9}[/tex]

[tex]y_{p}=\frac{1}{9}t+\frac{1}{9}[/tex]

Ser dette rett ut? Hadde nemlig ikke fasit på denne.

Resten er jo greit om [tex]y_{p}[/tex] er rett.

[Aleks855]

Ser rett ut, både partikulærløsninga og komplementærløsninga. Du vet sikkert hva du skal gjøre når du har funnet dem.

Dog, ser ut som du blander litt mellom $x$ og $t$, men det er fort gjort.

[Johan Nes]

Thanks, Aleks.

Variabelrotet skyldes at Yh kom fra en deloppgave hvor x var variabelen, mens t var variabelen i den oppgaven jeg skulle løse (som brukte resultatet fra deloppgaven med x).