Induksjon

[hallapaadeg]

Sliter litt med induksjon. Det hele virker litt snålt. Men jeg trenger tilbakemelding her, om dette er riktig. Beklager at det blir wall of text

"Vis ved induksjon at


[tex]\frac{1}{1*3} + \frac{1}{3*5} + \frac{1}{5*7} + ... + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1}[/tex]

Såå sjekker at [tex]\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1}[/tex] er lik på begge sider ved å sette inn n = 1 = > [tex]\frac{1}{3}[/tex]..

Antar at det stemmer for n = k


[tex]\frac{1}{1*3} + \frac{1}{3*5} + \frac{1}{5*7} + ... + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{k}{2k+1}[/tex]

så vil jeg se om det stemmer for n = k + 1

[tex]\frac{1}{1*3} + \frac{1}{3*5} + \frac{1}{5*7} + ... + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} + \frac{1}{(2(k+1) -1)(2(k+1)+1)} = \frac{k+1}{2(k+1)+1}[/tex]

Her er det jeg sliter litt, skal jeg nå bare si at jeg tidligere har sett at det stemmer for n=k, og at jeg derfor kan bytte ut alt dette:

[tex]\frac{1}{1*3} + \frac{1}{3*5} + \frac{1}{5*7} + ... + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}[/tex] med dette: [tex]\frac{k}{2k+1}[/tex] og dermed ende opp med:


[tex]\frac{k}{2k+1} + \frac{1}{(2(k+1) -1)(2(k+1)+1)} = \frac{k+1}{2(k+1)+1} \leftrightarrow[/tex]

[tex]\frac{k}{2k+1} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3}[/tex]

Som etter litt brøkregning ender opp slik:

[tex]\frac{k(2k+3) + 1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3}[/tex]

[tex]\frac{2k^{2}+3k+1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3}[/tex]

[tex]\frac{(2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3}[/tex]

Som jeg forenkler til: [tex]\frac{k+1}{2k+3} = \frac{k+1}{2k+3}[/tex]

og dett var dett? Det ser jo riktig ut, men er det riktig fremgangsmåte? Det kritiske punktet jeg lurer på er der jeg har lagt til en kommentar i midten. da man bare "stjeler" hele linja ut og setter den inn.

[Lektorn]

Poenget med siste trinn er at du skal vise at uttrykket på venstre side innsatt $k+1$ blir lik uttrykket på høyre side innsatt $k+1$.
For meg ser det ut som du prøver å løse en likning eller noe..?

Venstre side blir da lik høyre siden i trinn 2 (antakelsen at det gjelder for $n=k$) pluss et ekstra ledd for $k+1$. Det uttrykket du da får må du jobbe med slik at du ender opp med høyre siden i påstanden innsatt $n=k+1$.

[hallapaadeg]

Poenget med siste trinn er at du skal vise at uttrykket på venstre side innsatt $k+1$ blir lik uttrykket på høyre side innsatt $k+1$.

Det er det jeg prøver på. Kan du vise meg hvor jeg gjør feil?

skal jeg omforme [tex]\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} + \frac{1}{(2(k+1) -1)(2(k+1)+1)}[/tex] til [tex]\frac{k+1}{2(k+1)+1}[/tex] ?

Jeg tok jo bare å satt inn høyre siden fra steg 2, inn i steg 3

[Lektorn]

OK! Da prøver jeg å løse siste trinnet her og bruker da resultatet fra antakelsen i starten. Stikkord: sett på felles brøkstrek, trekk sammen, faktoriser, forkort.

$\frac {k} {2k+1} + \frac {1}{(2(k+1)-1) (2(k+1)+1)} =$

$ \frac {k} {2k+1} + \frac {1}{(2k+1)(2k+3)} = $

$\frac {k(2k+3) + 1}{(2k+1) (2k+3)} = \frac {(2k+ 1)(k+1)}{(2k+1) (2k+3)} = $

$\frac {k+1}{(2k+3)} = \frac {k+1}{2(k+1)+1}$

Et triks når du holder på med slike oppgaver er å sette opp hva du skal ende opp med. Da kan det være lettere å komme i mål.

[hallapaadeg]

Takk, men var ikke det samme jeg gjorde, bare at jeg skrev høyresiden uten å addere i nevner?

[Lektorn]

OK, hva er det da du spør om i denne tråden?

[hallapaadeg]

Du sa jeg hadde gjort feil, og når du viser meg hvordan man skal gjøre det, ser det ut som det er det samme som jeg gjorde. Satte inn uttrykket fra steg 2 og sorterte brøken slik at det ble likt på begge sider. Eller er det noe jeg har oversett? Jeg lurer selvfølgelig på om jeg er helt ute på jordet eller ikke. jeg vil jo ha det pent og formelt på eksamen, om induksjon uheldigvis skulle dukke opp.

[Lektorn]

Jeg sa vel ikke at du hadde gjort det feil, men at det så ut som du løste en likning.
Føringsteknisk når målet er å vise at VS = HS er å regne ut VS og HS hver for seg og så til slutt konkludere med at; joda det ble faktisk likt.
Så du er ikke ute på jordet.

[hallapaadeg]

Okay, da skjønte jeg hva du mente. Takk for hjelpa!