Cauchy-Schwarz ulikehten

[Guest]

Jeg skal verifisere at CS-ulikheten holder for u=(-2,1) og v=(1,0),
når indreproduktet <u,v> = 3u[sub]1[/sub]v[sub]1[/sub] + 2u[sub]2[/sub]v[sub]2[/sub]

CS-ulikheten sier |<u,v>| =< ||u||*||v||

|<u,v>| = d(u,v) = [rot][/rot] (u[sub]1[/sub]-v[sub]1[/sub])[sup]2[/sup] + (u[sub]2[/sub]v[sub]2[/sub])[sup]2[/sup] = [rot][/rot] 3*(-2-1)[sup]2[/sup] + 2*(1-0)[sup]2[/sup] = [rot][/rot] 29

||u||*||v|| = [rot][/rot] 3*(-2)[sup]2[/sup] + 2*0[sup]2[/sup] = [rot][/rot] 12

OK, noe har jeg gjort galt!

[Solar Plexsus]

For det første er det greiest å skrive C-S-ulikheten på formen

(1) <u,v>[sup]2[/sup] ≤ <u,u><v,v>

for du slipper du å bruke kvadratrottegn.

Her er

<u,v> = 3*(-2)*1 + 2*1*0 = -6.

<u,u> = 3*(-2)[sup]2[/sup] + 2*1[sup]2[/sup] = 3*4 + 2*1 = 12 + 2 = 14.

<v,v> = 3*1[sup]2[/sup] + 2*0[sup]2[/sup] = 3*1 + 2*0 = 3 + 0 = 3.

Altså blir <u,v>[sup]2[/sup] = (-6)[sup]2[/sup] = 36 og <u,u><v,v> = 14*3 = 42, noe som også stemmer overens med C-S-ulikheten (1).

[Guest]

Takk skal du ha.