Hvordan kan man bevise at kvadratroten av 2 er et irrasjonalt tall?
Hilsen
uvitende
rot og bevis
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Det kan bevises med indirekte bevis.
La oss si at [rot][/rot]2 var et rasjonalt tall, da ville det kunne skrives a/b, der a/b er forkortet mest mulig.
(a/b)[sup]2[/sup] = 2
a[sup]2[/sup] = 2b[sup]2[/sup]
Siden a[sup]2[/sup] er et partall må a være et partall, så vi setter a=2c
(2c)[sup]2[/sup] = 2b[sup]2[/sup]
4c[sup]2[/sup] = 2b[sup]2[/sup]
2c[sup]2[/sup] = b[sup]2[/sup]
Siden b[sup]2[/sup] er et partall må b være et partall.
Hvis a og b er partall ville vi kunne forkortet brøken, men vi sa jo i begynnelsen at den var forkortet så mye som mulig.
Vi har en selvmotsigelse, altså er [rot][/rot]2 et irrasjonalt tall.
La oss si at [rot][/rot]2 var et rasjonalt tall, da ville det kunne skrives a/b, der a/b er forkortet mest mulig.
(a/b)[sup]2[/sup] = 2
a[sup]2[/sup] = 2b[sup]2[/sup]
Siden a[sup]2[/sup] er et partall må a være et partall, så vi setter a=2c
(2c)[sup]2[/sup] = 2b[sup]2[/sup]
4c[sup]2[/sup] = 2b[sup]2[/sup]
2c[sup]2[/sup] = b[sup]2[/sup]
Siden b[sup]2[/sup] er et partall må b være et partall.
Hvis a og b er partall ville vi kunne forkortet brøken, men vi sa jo i begynnelsen at den var forkortet så mye som mulig.
Vi har en selvmotsigelse, altså er [rot][/rot]2 et irrasjonalt tall.