Trigonometri R2

[haha123]

He, jegsiter litt fast på denne oppgaven: (2.315 i CoSinus R2)

a) Ta for deg en vilkårlig trekant ABC og konstruer den omskrevne sirkelen.
b) La a være motstående siden til vinkel A, b motstående siden til vinkel B og c motstående siden til vinkel C i trekanten ABC.
Bevis at radien r i den omskrevne sirkelen er gitt ved
r = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)

a) har jeg fått til, men jeg skjønner ikke helt hva jeg skal gjøre med b).
Jeg ser at dette ligner veldig på sinussetningen (a/sinA = b/sinB = c/sinC), også har jeg prøvd meg litt med periferivinkel og sentralvinkel, men jeg kommer egentlig ingen vei...

Takk for all hjelp!

[DennisChristensen]

På vedlagt bilde ser du trekant $ABC$ med respektive motstående sider $a,b,c$. Den omskrevne sirkelen med sentrum $S$ og radius $r$ er også tegnet inn.

Som du foreslo ser vi at $\angle CAB = A$ er periferivinkelen til sentralvinkelen $\angle CSB$, så $\angle CSB = 2A$. Ved å markere punktet $P$ der forlengelsen av linjen $CS$ krysser sirkelen ser vi at $\angle CPB$ også er en slik periferivinkel, så $\angle CPB = A$.

Ettersom trekant $CSB$ er likebent og $\angle CSB = 2A$ får vi at $\angle BCS = \angle SBC = \frac{180 - 2A}{2} = 90 - A$. Derfor ser vi at $\angle PBC = 180 - (A + (90 - A)) = 180 - A - 90 + A = 90$, så trekant $CPB$ er rettvinklet. Merk at hypotenusen til trekant $CPB$ er lik $2r$, ettersom $CP$ er den omskrevne sirkelens diameter.

Altså får vi at
$\sin A = \sin(\angle CPB) = \frac{a}{2r} \\
\therefore 2r = \frac{a}{\sin A} \\
\therefore r = \frac{a}{2\sin A}$

Det samme argumentet fungerer for hjørnene $B$ og $C$, så vi får at
$r = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}$.

[haha123]

Tusen takk! Nå kan jeg sove i natt også