hjelp til integral (substitusjon)

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
hallapaadeg
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 297
Joined: 24/04-2014 14:33
Location: Cyberspace

Skal finne $\int{\frac{dx}{1+x^{\frac{1}{3}}}}$. jeg får feil svar men jeg skjønner ikke hvor jeg jukser.. Boken bruker en ny substitusjon midt i utregninga. men jeg prøvde å gjøre det slik


setter $x = u^{3} \Leftrightarrow u = \sqrt[3]{x}$, da er $dx = 3u^{2}du$

$3\int{\frac{u^{2}du}{1+u}}$. Her innfører boken substitusjonen $v = 1+u$.. Men kan jeg ikke bare bruke polynomdivisjon da?

Isåfall blir $u^{2} : 1 + u = u - 1 + \frac{1}{1+u}$

Slik at: $3\int{\left( u - 1 + \frac{1}{u+1}\right)}du = 3\left[ \frac{1}{2}u^{2} - u + \ln{|u+1|}\right] + C = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - 3x^{\frac{1}{3}} + 3\ln{|x^{\frac{1}{3}} + 1|} + C$

Men i fasiten til boka står det at svaret skal være $\frac{3}{2}(1+x^{\frac{1}{3}})^{2} - 6(1+x^{\frac{1}{3}}) + 3\ln{|1+x^{\frac{1}{3}}|} + C$

Noken som ser hvor jeg gjør feil? på forhånd takk for evt svar :D
zell
Guru
Guru
Posts: 1777
Joined: 09/02-2007 15:46
Location: Trondheim

Skulle stemme det.

Fasit (bruker [tex]u=x^{1/3}[/tex] for enkelhetsskyld

[tex]I = \frac{3}{2}(1+u)^2-6(1+u)+3\ln{|1+u|}+C[/tex]

Gang ut:

[tex]I = \frac{3}{2}(1+2u+u^2)-6-6u+3\ln{|1+u|}+C[/tex]

[tex]I = \frac{3}{2}+3u+\frac{3}{2}u^2-6-6u+3\ln{|1+u|}+C = \frac{3}{2}u^2-3u+3\ln{|1+u|}+C[/tex]

Merk at jeg har lagt alle konstantene i [tex]C[/tex]. Konklusjon: begge svar er riktige.
hallapaadeg
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 297
Joined: 24/04-2014 14:33
Location: Cyberspace

aff teit at jeg ikke så det. takk for svar!
Post Reply