eksamensoppgave

[Madsnikola]

Hei, lurte på noen kunne hjulpet meg med en eksamens oppgave fra 2015. Del 2 oppgave 5. skjønte ikke framgangsmåten.
http://matematikk.net/res/eksamen/1T/kort/1T_V15.pdf

[Nebuchadnezzar]

Hva har du tenkt selv? Klarer du å finne arealet av den lille halvsirkelen mellom $A$ og $B$?

[Guest]

Du har at det sorte området er lik:
(arealet av halvsirkelen med diameter AC - arealet av halvsirkelen med diameter AB) * 2 (fordi figuren er symmetrisk)

Forholdet blir da arealet av hele sirkelen/arealet av det sorte området. Du vet da også at (AC-AB) er 1/3 av a så kan du uttrykke svaret med a.

Du må nesten bare se på figuren mens du leser det jeg skrev. Marker alle området jeg beskrev så ser du at arealet må bli som det blir.

Hvis vi skal regne litt med algebra vil svaret altså være:
[tex]2(A_{AC}-A_{AB}) = A_{sort}[/tex]

[tex]2\left(\frac{\pi(\frac{AC}{2})^2}{2}-\frac{\pi(\frac{AB}{2})^2}{2}\right) = A_{sort}[/tex] $\hspace{15 mm}$ | $\hspace{5 mm}$$\pi r^2 = A_{sirkel}$, $\hspace{5 mm}$ $\frac{AC}{2} = r_{AC}$ $\hspace{5 mm}$ og $\hspace{5 mm}$ $\frac{AB}{2} = r_{AB}$

[tex]A_{sort} = \pi AB^2-\pi \left(\frac{AB}{2}\right)^2[/tex]$\hspace{15 mm}$ |$\hspace{5 mm}$ $\frac{AC}{2} = AB$

[tex]A_{sort} = \frac{3 \pi}{4}AB^2 = \frac{3\pi}{4} \left(\frac{1}{3}a\right)^2 = \frac{\pi}{12}a^2[/tex] $\hspace{15 mm}$ | $\hspace{5 mm}$ $AB=\frac{1}{3}a$

Forholdet blir da: [tex]\frac{A_{sirkel}}{A_{sort}} = \frac{\pi (\frac{a}{2})^2}{\frac{\pi}{12}a^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{12}} = \frac{12}{4} = 3[/tex]

Altså arealet av sirkelen er 3 ganger så stort som arealet av det sorte området.

[Guest]

Takk for hjelpen!